Question

1+cosx=ctg x/2 помогите пожалуйста, с объяснением, особенно первый шаг решения

Answer 1

Давайте рассмотрим уравнение 1 + cos(x) = ctg(x/2) и попробуем его решить. Начнем с преобразования нашего уравнения, чтобы избавиться от тригонометрических функций.

1. Сначала перепишем ctg(x/2) в виде 1/tan(x/2). Теперь у нас есть: 1 + cos(x) = 1/tan(x/2).

2. Теперь преобразуем тангенс половинного угла (tan(x/2)) с использованием тригонометрической идентичности: tan(x/2) = sin(x) / (1 + cos(x)).

3. Подставим это обратно в исходное уравнение: 1 + cos(x) = 1 / (sin(x) / (1 + cos(x))).

4. Обратим дробь справа и упростим: 1 + cos(x) = (1 + cos(x)) / sin(x).

5. Теперь можно умножить обе стороны уравнения на sin(x): sin(x) + cos(x) * sin(x) = 1 + cos(x).

6. Выразим sin(x) через cos(x) с использованием тригонометрической идентичности sin^2(x) + cos^2(x) = 1: sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)).

7. Подставим это значение обратно в уравнение: sqrt(1 - cos^2(x)) + cos(x) * sqrt(1 - cos^2(x)) = 1 + cos(x).

8. Обозначим sqrt(1 - cos^2(x)) как t: t + cos(x) * t = 1 + cos(x).

9. Теперь факторизуем левую сторону: t * (1 + cos(x)) = 1 + cos(x).

10. Поделим обе стороны на (1 + cos(x)): t = 1.

11. Вернемся к исходному выражению для t и подставим значение обратно: sqrt(1 - cos^2(x)) = 1.

12. Возводим обе стороны в квадрат и решаем уравнение: 1 - cos^2(x) = 1.

13. Решим уравнение относительно cos(x): cos^2(x) = 0.

14. Возведем обе стороны в квадратный корень: cos(x) = 0.

15. Решением данного уравнения являются все значения x, для которых cos(x) = 0. Это происходит в точках, когда x = π/2 + πn, где n - целое число.

Таким образом, решение исходного уравнения 1 + cos(x) = ctg(x/2) включает все значения x, которые удовлетворяют условию x = π/2 + πn, где n - целое число.