Question

Розв'яжіть рівняння: 1) 2 cos² x = 1 + sin x; 2) cos 2x + 8 sin x = 3.

Answer 1

Ответ:

Решение:  

cos2x+8sinx=3  

Имеем формулы: cos2x = cos^2 x - sin^2 x =1-2sin^2 x  

Получаем 1-2sin^2 x +8sinx=3  

-2sin^2 x +8sinx-3+1=0  

-2sin^2 x +8sinx-2=0  

sin^2 x -4sinx+1=0  

Обозначим: sinx = t, тогда имеем квадратное уравнение  

t^2-4t+1=0  

D=b^2-4ac + (-4)^2- 4*1*1= 16-4=12  

t1 = (4 -2 под корнем 3) /2 =2- под корнем 3  

t2 =2+ под корнем 3. Это число больше 1! А значение -1< sinx <1 должен быть  

В таком случае sinx =2- под корнем 3  

х=(-1)^k arcsin (2- под корнем 3) + Пk, k принадлежит Z

10 10 Нравится

Объяснение:

Answer 2

Звісно, розглянемо кожне рівняння окремо:

1. 2 cos² x = 1 + sin x

Спочатку спростимо ліву частину, використовуючи тригонометричну тотожність $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$2 \cos^2 x = 1 + \sin x$
$2 (1 - \sin^2 x) = 1 + \sin x$
$2 - 2 \sin^2 x = 1 + \sin x$
$2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

Отримали квадратне рівняння відносно $\sin x$:

$2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

Це рівняння можна розв'язати, наприклад, за допомогою квадратного рівняння або шляхом факторизації. Розв'язавши його, отримаємо значення $\sin x$, після чого можемо знайти відповідні значення $\cos x$ за допомогою тригонометричних тотожностей.

2. $\cos 2x + 8 \sin x = 3$

Ми можемо використовувати тригонометричні тотожності для спрощення лівої частини рівняння:

Запишемо $\cos 2x$ у вигляді $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:

$2 \cos^2 x - 1 + 8 \sin x = 3$
$2 \cos^2 x + 8 \sin x = 4$

Тепер ми можемо використати тригонометричну тотожність $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$2 (1 - \sin^2 x) + 8 \sin x = 4$
$2 - 2 \sin^2 x + 8 \sin x = 4$
$-2 \sin^2 x + 8 \sin x - 2 = 0$

Розділимо обидві сторони на -2:

$\sin^2 x - 4 \sin x + 1 = 0$

Це також квадратне рівняння відносно $\sin x$. Розв'язавши його, ми знайдемо значення $\sin x$, і за допомогою тригонометричних тотожностей можемо знайти відповідні значення $\cos x$.

Якщо ви хочете конкретні числові значення $\sin x$ і $\cos x$ для обох рівнянь, мені потрібні початкові умови або інше обмеження, так як ці рівняння мають безліч рішень через періодичність тригонометричних функцій.