Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у=2-х^2, у=х, у=0

Answer 1

Ответ:

====================================

Объяснение:

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно найти точки их пересечения и затем интегрировать функцию, которая представляет разницу между верхней и нижней функциями.

Первым шагом найдем точки пересечения этих линий:

1. Уравнение у=2-х^2 пересекает уравнение у=х: 2 - х^2 = х х^2 + х - 2 = 0 (х + 2)(х - 1) = 0 Таким образом, х = -2 и х = 1.

2. Теперь уравнение у=2-х^2 пересекает уравнение у=0: 2 - х^2 = 0 х^2 = 2 х = ±√2.

Таким образом, точки пересечения линий: (-2, 2), (1, 1), (√2, 0) и (-√2, 0).

Для вычисления площади между кривыми используем интеграл: $S = \int_{-√2}^{√2} (2 - х^2 - х) \,dx.$

Вычислим интеграл: $S = \int_{-√2}^{√2} (2 - х^2 - х) \,dx = \left[2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right]_{-√2}^{√2}$

Подставим значения и вычислим: $S = \left[2√2 - \frac{(√2)^3}{3} - \frac{(√2)^2}{2}\right] - \left[-2√2 - \frac{(-√2)^3}{3} - \frac{(-√2)^2}{2}\right]$ $S = \left[2√2 - \frac{2√2}{3} - 1\right] - \left[-2√2 + \frac{2√2}{3} - 1\right]$ $S = \frac{4√2}{3} - 1 + 2√2 - \frac{2√2}{3} + 1$ $S = 3√2 - 1.$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, составляет $3√2 - 1$ квадратных единиц.