Question

№ 1. Упростите выражения: а) sin4α cosα – соs4α sinα б) соs2α соs3α – sin2α sin3α

Answer 1

A) sin(4a-a)
sin(3a)

Мы сокращали за формулой
sin(t)cos(s)-cos(t)sin(s)=sin(t-s)


б) cos(2a+3a)
cos(5a)

Мы сокращали за формулой
cos(t)cos(s)-sin(t)sin(s)=cos(t+s)

Answer 2

а) Давайте рассмотрим выражение sin(4α)cos(α) - cos(4α)sin(α):

sin(4α)cos(α) - cos(4α)sin(α) = sin(3α + α)cos(α) - cos(3α + α)sin(α)

Используем тригонометрическое тождество для синуса суммы углов:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Применим это тождество к первому слагаемому:

sin(3α + α)cos(α) = sin(3α)cos(α) + cos(3α)sin(α)

Аналогично, для второго слагаемого:

cos(3α + α)sin(α) = cos(3α)sin(α) + sin(3α)cos(α)

Теперь подставляем полученные результаты обратно в исходное выражение:

(sin(3α)cos(α) + cos(3α)sin(α)) - (cos(3α)sin(α) + sin(3α)cos(α))

Заметим, что слагаемые с одинаковыми тригонометрическими функциями исключаются друг другом:

(sin(3α)cos(α) - sin(3α)cos(α)) + (cos(3α)sin(α) - cos(3α)sin(α))

Таким образом, остается ноль:

0

Итак, упрощенное выражение: 0.

б) Теперь рассмотрим выражение cos(2α)cos(3α) - sin(2α)sin(3α):

cos(2α)cos(3α) - sin(2α)sin(3α)

Используем тригонометрические тождества для косинуса и синуса произведения углов:

cos(A)cos(B) = (cos(A + B) + cos(A - B)) / 2 sin(A)sin(B) = (cos(A - B) - cos(A + B)) / 2

Применяем эти тождества к исходному выражению:

(cos(2α + 3α) + cos(2α - 3α)) / 2 - (cos(2α - 3α) - cos(2α + 3α)) / 2

Упрощаем:

(cos(5α) + cos(-α)) / 2 - (cos(-α) - cos(5α)) / 2

Заметим, что cos(-α) = cos(α), а также cos(5α) = cos(-5α):

(cos(5α) + cos(α)) / 2 - (cos(α) - cos(5α)) / 2

Теперь сокращаем слагаемые:

cos(5α) / 2 + cos(α) / 2 - cos(α) / 2 + cos(5α) / 2

Слагаемые с одинаковыми тригонометрическими функциями складываются:

cos(5α) + cos(5α) = 2cos(5α)

Итак, упрощенное выражение: 2cos(5α).