Question

СРОЧНО 40 БАЛЛОВ Найди наибольшее и наименьшее значения функции x(t)=2t4−4t+7, если 1≤t≤2.

Answer 1

Ответ:

y(наиб) = 31 (в точке х = 2)

y(наим) = 5 (в точке x = 1)

На границах интервала.

Объяснение:

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции нам необходимо:

Найти все стационарные точки.

Найти все критические точки.

Проверить границы интервала.

Пункт 1 - стационарные точки:

Данные точки ищутся с помощью производной. Найдем производную данной функции:

x'(t) = 8 - 4.

Приравниваем производную к 0:

8$x^{3}$ - 4 = 0

t = ±$\sqrt[3]{\frac{4}{3}}$  = ±$\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$- однако, эти точки не входят в наш интервал.

Пункт 2 - критические точки:

Таковых у нас нет, т.к. критические точки - это стационарные точки, но которые не входят в ОДЗ. (У нас ОДЗ от (-∞;∞+)).

Пункт 3 - границы графика:

Подставляем значения границ интервала и находим значения в этих точках:

x(1)=2*1^4−4*1+7 = 5

x(2)=2*2^4−4*2+7 = 31

Следовательно, это и есть наибольшее и наименьшее значение функции на заданном интервале.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции x(t) на заданном интервале [1, 2], нужно следовать следующим шагам:

1. Найдите производную функции x(t).
2. Решите уравнение x'(t) = 0, чтобы найти критические точки.
3. Оцените значения функции x(t) в этих критических точках и на концах интервала [1, 2].
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения из полученных результатов.

Итак, начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции x(t): x(t) = 2t^4 - 4t + 7 x'(t) = 8t^3 - 4

2. Решим уравнение x'(t) = 0: 8t^3 - 4 = 0 8t^3 = 4 t^3 = 0.5 t = (0.5)^(1/3) t ≈ 0.7937

3. Оценим значения функции x(t) в найденных критических точках и на концах интервала: При t = 0.7937: x(0.7937) ≈ 7.7392 При t = 1: x(1) = 2(1)^4 - 4(1) + 7 = 5 При t = 2: x(2) = 2(2)^4 - 4(2) + 7 = 23

4. Найдем наибольшее и наименьшее значения: Наименьшее значение: 5 (при t = 1) Наибольшее значение: 23 (при t = 2)

Итак, наименьшее значение функции x(t) на интервале [1, 2] равно 5, а наибольшее значение равно 23.