Question

Найдите tg^2альфа+ctg^2альфа,если tgальфа+ctg альфа =a​

Answer 1

$tg\alpha +ctg\alpha =a\\\\(tg\alpha +ctg\alpha )^2=a^2\\\\tg^2\alpha +2\cdot \underbrace {tg\alpha \cdot ctg\alpha }_{1}+tg^2\alpha=a^2\\\\tg^2\alpha +2\cdot 1+ctg^2\alpha =a^2\\\\\boxed {\; tg^2\alpha +ctg^2\alpha =a^2-2\; }$

Answer 2

Дано:

$$\tan(\alpha) + \cot(\alpha) = a$$

Мы хотим найти значение выражения $\tan^2(\alpha) + \cot^2(\alpha)$.

Давайте начнем с выражения $\tan^2(\alpha) + \cot^2(\alpha)$. Мы знаем, что $\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$, таким образом:

$$\cot^2(\alpha) = \left(\frac{1}{\tan(\alpha)}\right)^2 = \frac{1}{\tan^2(\alpha)}$$

Теперь мы можем заменить $\cot^2(\alpha)$ в исходном выражении:

$$\tan^2(\alpha) + \frac{1}{\tan^2(\alpha)}$$

Мы можем объединить два слагаемых, используя общий знаменатель:

$$\frac{\tan^4(\alpha) + 1}{\tan^2(\alpha)}$$

Заметим, что выражение $\tan^4(\alpha) + 1$ похоже на сумму квадратов. Мы можем записать его как $(\tan^2(\alpha))^2 + 1^2$. Это напоминает тригонометрическую формулу $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

Теперь мы можем записать:

$$\frac{(\tan^2(\alpha))^2 + 1^2}{\tan^2(\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} = \csc^2(\alpha)$$

Итак, $\tan^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) = \csc^2(\alpha)$.

Теперь, с учетом данного условия: $\tan(\alpha) + \cot(\alpha) = a$, нам нужно дополнительную информацию о значении $a$, чтобы найти точное значение $\csc^2(\alpha)$.