Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y = 2x^3 + 1/3 * x^2 в точке с абсциссой x0 = -3

Answer 1

Ответ: $y_{k}=52x+105}.$

Объяснение:

$y=2x^{3} +\frac{1}{3} x^{2} ;x_{0}=-3\\ y_{k} =y(x_{0})+y'(x_{0}) *(x-x_{0} )\\y(-3)=2*(-3)^{3} +\frac{(-3)^{2} }{3} =2*(-27)+\frac{9}{3} =-54+3=-51.\\y'(x)=6x^{2} +\frac{2}{3}x\\ y'(-3)=6*(-3)^{2} +\frac{2}{3} *(-3)=6*9-2=54-2=52.\\y_{k} =-51+52*(x-(-3)=-51+52*(x+3)=-51+52x+156=52x+105.$

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к графику функции в заданной точке необходимо найти производную функции и вычислить ее значение в заданной точке.

Дана функция: y = 2x^3 + (1/3)x^2

1. Найдем производную функции y по x: y' = d/dx (2x^3 + (1/3)x^2) = 6x^2 + (2/3)x

2. Вычислим значение производной в точке x0 = -3: y'(x0) = 6(-3)^2 + (2/3)(-3) = 54 - 2 = 52

Таким образом, значение производной в заданной точке x0 = -3 равно 52.

Уравнение касательной к графику функции в точке (-3, y(-3)) с помощью найденного значения производной можно записать в виде: y - y(-3) = y'(x0)(x - x0)

Заменяем значения: y - y(-3) = 52(x - (-3))

Упрощаем: y - y(-3) = 52(x + 3)

Это уравнение представляет касательную к графику функции в точке с абсциссой x0 = -3.