Question

Прямая у=–8х–9 является касательной к графику функции у=16x2+8x+c. Найти с

Answer 1

Ответ: $c=-5$

решение прикреплено

Answer 2

Для того чтобы прямая $y = -8x - 9$ была касательной к графику функции $y = 16x^2 + 8x + c$, необходимо, чтобы эти две функции имели общую точку касания и одинаковые значения производных в этой точке.

1. Найдем производную функции $y = 16x^2 + 8x + c$: $y' = 32x + 8.$

2. Производная заданной прямой $y = -8x - 9$ равна -8.

Теперь нам нужно найти точку, в которой производные этих функций равны, чтобы они могли быть касательными в этой точке:

$32x + 8 = -8.$

Решая это уравнение, получим:

$32x = -16, \quad x = -\frac{1}{2}.$

Подставляя $x = -\frac{1}{2}$ в уравнение прямой $y = -8x - 9$, получаем:

$y = -8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 9 = 4 - 9 = -5.$

Таким образом, точка касания двух функций - $\left(-\frac{1}{2}, -5\right)$.

Теперь, чтобы найти значение константы $c$, подставим координаты этой точки в уравнение функции $y = 16x^2 + 8x + c$:

$-5 = 16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + c.$ $-5 = 4 - 4 + c.$ $c = -5 - 4 + 4 = -5 - 4 = -9.$

Итак, значение константы $c$ равно $-9$.