Question

Знайти проміжки монотонності та екстремуми функції f(x)= x^3-48x.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f(x)=x^3-48x,   f'(x)=3x^2-48,   f'(x)=0,  3x^2-48=0,

x^2-16=0,  x^2=16,  x=-4  и  x=4

____+___[-4]____-____[4]____+____ y'

возр.      max   убыв.     min     возр.      у

возрастает  (-Б;-4]  и  [4;+Б),   убывает   [-4;4]

Answer 2

Для знаходження проміжків монотонності та екстремумів функції $f(x) = x^3 - 48x$, спочатку знайдемо похідну функції та з'ясуємо її знаки на різних інтервалах.

1. Знайдемо похідну функції $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 - 48$

2. Знайдемо точки, де $f'(x) = 0$, тобто критичні точки: $3x^2 - 48 = 0$ $3x^2 = 48$ $x^2 = 16$ $x = \pm 4$

Отже, критичні точки це $x = -4$ та $x = 4$.

3. Тепер розглянемо інтервали між критичними точками та за їхніми межами, щоб з'ясувати знак похідної $f'(x)$ та встановити монотонність:

   • При $x < -4$: Підставивши в похідну, отримаємо $f'(-4) = 3(-4)^2 - 48 = 48 - 48 = 0$. Отже, на цьому інтервалі похідна змінює знак з плюса на мінус, тобто функція спадає.

   • При $-4 < x < 4$: Підставивши в похідну значення між -4 та 4, отримаємо від'ємні значення. Тобто, на цьому інтервалі похідна залишається від'ємною, і функція продовжує спадати.

   • При $x > 4$: Підставивши в похідну, отримаємо $f'(4) = 3(4)^2 - 48 = 48 - 48 = 0$. На цьому інтервалі похідна знову змінює знак з мінуса на плюс, тобто функція зростає.

4. Встановимо наявність екстремумів:

   • У точці $x = -4$ зміна монотонності від спадання до зростання, тому це може бути локальний мінімум.
   • У точці $x = 4$ зміна монотонності від зростання до спадання, тому це може бути локальний максимум.

Отже, функція $f(x) = x^3 - 48x$ має локальний мінімум у точці $x = -4$ та локальний максимум у точці $x = 4$.