Question

Знайдіть проміжки монотонності, точки екстремуму та екстремуми функції y=6x-x^2​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y' = 6 - 2x = 0

x = 3

    +             -

_____3______

    /           \

x=3 - максимум ф-ции

y(3) = 6*3 - 9 = 9

возрастает x∈(- беск; 3] U [3; + беск)

Answer 2

Для знаходження проміжків монотонності, точок екстремуму та екстремумів функції $y = 6x - x^2$, спершу знайдемо похідну цієї функції та вирішимо рівняння похідної на наявність коренів (де похідна дорівнює нулю або не існує). Після цього вивчимо знаки похідної на різних інтервалах, щоб визначити монотонність та екстремуми.

1. Знайдемо похідну функції $y = 6x - x^2$: $y' = \frac{d}{dx}(6x - x^2) = 6 - 2x$.

2. Знайдемо точки, де $y' = 0$: $6 - 2x = 0$ \ $2x = 6$ \ $x = 3$.

   Точка $x = 3$ є критичною точкою, де може відбутися екстремум.

3. Вивчимо знаки похідної $y' = 6 - 2x$ на різних інтервалах:

   • Для $x < 3$: $y' > 0$, отже, функція $y = 6x - x^2$ зростає на цьому проміжку.
   • Для $x > 3$: $y' < 0$, отже, функція $y = 6x - x^2$ спадає на цьому проміжку.

4. Отже, маємо:

   • Функція $y = 6x - x^2$ монотонно зростає на проміжку $(-\infty, 3)$.
   • Функція $y = 6x - x^2$ монотонно спадає на проміжку $(3, \infty)$.

5. Тепер визначимо тип екстремуму в точці $x = 3$. Для цього можемо використати другу похідну: $y'' = \frac{d^2}{dx^2}(6x - x^2) = -2$.

   Друга похідна $y'' = -2$ від'ємна, що означає, що функція $y = 6x - x^2$ має максимум в точці $x = 3$.

Таким чином, у функції $y = 6x - x^2$ є максимум в точці $x = 3$, а також проміжки монотонності: зростання на $(-\infty, 3)$ та спадання на $(3, \infty)$.