Question

Какие числа являются корнями уравнения 8x^4-10x^2+2=0

Answer 1

Ответ:

{ -1; -0,5; 0,5; 1}

Объяснение:

Дано биквадратное уравнение

8·x⁴ - 10·x² + 2 = 0.

Произведём замену:

t = x², то есть t≥0.

Тогда

8·t² - 10·t + 2 = 0

4·t² - 5·t + 1 = 0.

Решаем последнее квадратное уравнение:

D = (-5)² - 4·4·1 = 25 - 16 = 9 = 3²,

t₁ = (5 - 3) / (2·4) = 2/8 = 1/4 = 0,25 > 0 - подходит,

t₂ = (5 + 3) / (2·4) = 8/8 = 1 > 0 - подходит.

Произведём обратную замену:

x² = 0,25 ⇔ x² = 0,5² ⇔ x₁,₂ = ±0,5,

x² = 1 ⇔ x² = 1² ⇔ x₃,₄ = ±1.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение. Первым шагом мы можем попробовать провести замену, чтобы упростить его. Пусть $y = x^2$, тогда уравнение примет вид:

$8y^2 - 10y + 2 = 0.$

Теперь это квадратное уравнение относительно $y$. Давайте попробуем его решить с помощью квадратного трёхчлена или дискриминанта:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 100 - 64 = 36$.

Поскольку дискриминант положителен ($D > 0$), у нас есть два действительных корня:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{16} = \frac{10 \pm 6}{16}.$

Таким образом, $y_1 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{16}{16} = 1$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

Для $y_1 = \frac{1}{2}$ получаем: $x^2 = \frac{1}{2}$, что означает $x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$, или эквивалентно $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для $y_2 = 1$ имеем: $x^2 = 1$, что даёт $x = \pm 1$.

Итак, корни исходного уравнения $8x^4 - 10x^2 + 2 = 0$ равны: $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \pm 1$.