Question

Довести, що при довільному цилму n, значення виразу кратне 24: (n+3)⁴-(n-3)⁴

Answer 1

Ответ:

Вот решение:

Объяснение:

Answer 2

Давайте доведемо це за допомогою математичної індукції.

Базовий крок: Для n = 1, маємо: (1 + 3)⁴ - (1 - 3)⁴ = 4⁴ - (-2)⁴ = 256 - 16 = 240, що є кратним 24.

Припустимо, що для деякого цілого k вираз (k + 3)⁴ - (k - 3)⁴ кратний 24, тобто існує ціле число m таке, що (k + 3)⁴ - (k - 3)⁴ = 24m.

Індукційний крок: Розглянемо вираз для n = k + 1: ((k + 1) + 3)⁴ - ((k + 1) - 3)⁴ = (k + 4)⁴ - (k - 2)⁴.

Розглянемо різницю: ((k + 4)⁴ - (k - 2)⁴) - ((k + 3)⁴ - (k - 3)⁴) = (k + 4)⁴ - (k - 2)⁴ - (k + 3)⁴ + (k - 3)⁴ = ((k + 4)² + (k - 2)²)((k + 4)² - (k - 2)²) - ((k + 3)² + (k - 3)²)((k + 3)² - (k - 3)²) = (k² + 8k + 16 + k² - 4k + 4)(16k + 16) - (k² + 6k + 9 + k² - 6k + 9)(12k + 18) = (2k² + 12k + 20)(16k + 16) - (2k² + 12k + 18)(12k + 18) = 32k³ + 80k² + 64k + 32k² + 240k + 360 - (24k³ + 216k² + 648k + 972) = 32k³ + 80k² + 64k + 32k² + 240k + 360 - 24k³ - 216k² - 648k - 972 = 8k³ - 104k² - 344k - 612 = 4(2k³ - 26k² - 86k - 153).

За попередньою індукційною гіпотезою, 2k³ - 26k² - 86k - 153 = 24n, де n - ціле число.

Таким чином, ми довели, що ((k + 1) + 3)⁴ - ((k + 1) - 3)⁴ кратний 24.

Це завершує індукційний крок, і ми довели, що при будь-якому цілому n вираз (n + 3)⁴ - (n - 3)⁴ є кратним 24 за допомогою математичної індукції.