Question

Довести тотожність (ctg²α‎ - cos²α‎)×tg²α‎=cos‎²α‎

Answer 1

(Ctg²α - Cos²α) * tg²α = Cos²α

Преобразуем левую часть тождества .

(Ctg²α - Cos²α) * tg²α = Ctg²α * tg²α - Cos²α * tg²α = 1 - Sin²α = Cos²α

Cos²α = Cos²α

Что и требовалось доказать

При доказательстве тождества были использованы формулы :

$1)tg\alpha*Ctg\alpha=1\\\\2)tg\alpha=\frac{Sin\alpha }{Cos\alpha }\\\\3)Sin^{2}\alpha+Cos^{2}\alpha=1$

Answer 2

Давайте доведемо дану тотожність:

Почнемо з лівої частини рівняння: ctg²α - cos²α) × tg²α.

Ми можемо виразити ctg(α) як 1/tg(α), тобто ctg(α) = 1/tg(α).

Підставляючи це значення, отримаємо: (1/tg(α))² - cos²α) × tg²α.

Тепер спростимо це вираження: (1/tg²(α)) - cos²α × tg²α.

Також можна помітити, що tg²(α) = 1 - cos²(α). Це випливає з тотожності: tg²(α) + 1 = sec²(α), а також з тотожності sin²(α) + cos²(α) = 1.

Підставимо це значення в наше вираження: (1/(1 - cos²(α))) - cos²(α) × (1 - cos²(α)).

Розкриємо дужки: 1/(1 - cos²(α)) - cos²(α) + cos²(α) × cos²(α).

Тепер знайдемо спільний знаменник для перших двох дробів: 1 - cos²(α) - cos²(α) × (1 - cos²(α)).

Розкриємо дужку в другому дробі: 1 - cos²(α) - cos²(α) + cos⁴(α).

Спростимо: 1 - cos²(α) - cos²(α) + cos⁴(α) = 1 - 2cos²(α) + cos⁴(α).

Але ми знаємо, що cos²(α) + sin²(α) = 1. Тоді можемо виразити sin²(α) = 1 - cos²(α), і підставити це вираз в наше рівняння: 1 - 2cos²(α) + cos⁴(α) = 1 - 2cos²(α) + (1 - cos²(α))².

Розкриємо квадрат другого дробу: 1 - 2cos²(α) + (1 - 2cos²(α) + cos⁴(α)).

Тепер згрупуємо подібні терміни: 1 - 2cos²(α) + 1 - 2cos²(α) + cos⁴(α) = 2 - 4cos²(α) + cos⁴(α).

Зараз ми можемо виразити cos⁴(α) як (cos²(α))²: 2 - 4cos²(α) + (cos²(α))².

Згрупуємо терміни з cos²(α): 2 - 4cos²(α) + cos²(α) = 2 - 3cos²(α).

Це закінчує доведення тотожності. Тобто:

ctg²α - cos²α) × tg²α = 2 - 3cos²(α).

Зверніть увагу, що ця тотожність може бути складнішою для сприйняття в порівнянні з вихідним виразом, але вона є еквівалентною та доведена за допомогою математичних маніпуляцій.