Question

1. Розв'яжіть нерівність: (2у-1)(3у+2)-бу(у-4)<48

Answer 1

$(2y - 1)(3y + 2) - 6y(y - 4) < 48$

$6 {y}^{2} + 4y - 3y - 2 - 6 {y}^{2} + 24y < 48$

$25y - 2 < 48$

$25y < 48 + 2$

$25y < 50$

$y < \frac{50}{25}$

$y < 2$

Ответ: у ∈ (принадлежит) (-∞;2)

Answer 2

Для розв'язання цієї нерівності, спершу розкриємо дужки та спростимо вираз:

(2у - 1)(3у + 2) - бу(у - 4) < 48

Розкриємо дужки: 6у^2 + 4у - 3у - 2 - бу^2 + 4бу < 48

Спростимо вираз: 6у^2 + у - 2 - бу^2 + 4бу < 48

Тепер приведемо подібні доданки та перенесемо все на один бік рівняння:

6у^2 - бу^2 + у + 4бу - 2 - 48 < 0

Об'єднаємо подібні доданки: (6 - б)у^2 + (1 + 4б)у - 50 < 0

Отримали квадратне нерівність відносно 'у'. Щоб знайти інтервали значень 'у', для яких нерівність виконується, потрібно дослідити знак виразу при різних значеннях 'у' для різних значень параметра 'б'.

Якщо (6 - б) > 0, то перший член буде позитивним, але нам потрібно щоб він був негативним. Отже, (6 - б) має бути менше за нуль, тобто б < 6.

Якщо (1 + 4б) > 0, то другий член буде позитивним, що спричинить зростання значення виразу. Отже, (1 + 4б) має бути менше за нуль, тобто б < -1/4.

Таким чином, параметр 'б' повинен задовольняти умову: -1/4 < б < 6.

Зараз ми можемо врахувати цей параметр та дослідити, які інтервали значень 'у' відповідають умовам нерівності. Оскільки ми маємо квадратну нерівність, то ми можемо використовувати дискримінант.

Для квадратної нерівності Au^2 + Bu + C < 0, де A > 0, дискримінант D = B^2 - 4AC.

Якщо D > 0, то рішення нерівності буде відкритим інтервалом між коренями квадратного рівняння Au^2 + Bu + C = 0.

Якщо D = 0, то рішення буде включеним інтервалом, що відповідає єдиному кореню квадратного рівняння.

Якщо D < 0, то нерівність не має розв'язків.

В нашому випадку, D = (1 + 4б)^2 - 4(6 - б)(-50), та ми можемо дослідити знак цього виразу відповідно до значень параметра 'б'.

Зараз якщо D > 0, ми можемо знайти корені квадратного рівняння Au^2 + Bu + C = 0 та знайти інтервал, де нерівність виконується. Якщо D < 0, то нерівність не має розв'язків на цій ділянці числової прямої.

Для точних розрахунків, мені потрібно знати конкретне значення параметра 'б'.