Question

Розв'язати систему рівнянь: х+у=2 2х квадрат-ху=65

Answer 1

X + y = 2

2x^2 - xy = 65

Решение

y = 2 - x

2x^2 - x( 2 - x ) = 65

2x^2 - 2x + x^2 = 65

3x^2 - 2x - 65 = 0

D = 4 + 780 = 784 ; V784 = 28

x1 = ( 2 + 28 ) : 6 = 5

x2 = ( 2 - 28 ) : 6 = - 26/6 = - 13/3 = - 4 1/3

y = 2 - x

y1 = 2 - 5 = - 3

y2 = 2 - 4 1/3 = - 2 1/3

Ответ ( 5 ; - 3 ) ; ( - 4 1/3 ; - 2 1/3 )

Answer 2

Для розв'язання даної системи рівнянь можемо використати метод підстановки або елімінації. Ось як можна вирішити цю систему за допомогою методу підстановки:

1. Виразимо одну змінну з одного рівняння і підставимо в інше рівняння.

   З першого рівняння виразимо, наприклад, x:

   x = 2 - y

2. Підставимо цей вираз для x в друге рівняння:

   2x^2 - xy = 65 2(2 - y)^2 - (2 - y)y = 65

3. Розкриємо квадрати та спростимо рівняння:

   2(4 - 4y + y^2) - (2y - y^2) = 65 8 - 8y + 2y^2 - 2y + y^2 = 65 3y^2 - 10y + 8 = 65

4. Перенесемо всі члени в одну сторону та отримаємо квадратне рівняння:

   3y^2 - 10y - 57 = 0

5. Розв'яжемо це рівняння для y. Можна використовувати квадратне рівняння або коефіцієнти можна поділити на спільний дільник, якщо він існує. Тут ми можемо поділити на 3:

   y^2 - (10/3)y - 19 = 0

6. Знайдемо корені цього квадратного рівняння за допомогою квадратного кореня або інших методів (наприклад, за допомогою дискримінанта). Нехай ми використаємо квадратний корінь:

   y = (10/3 ± √(10/3)^2 + 4 * 19) / 2 y = (10/3 ± √(100/9 + 76)) / 2 y = (10/3 ± √(676/9)) / 2 y = (10/3 ± 26/3) / 2

7. Отримали два можливих значення для y:

   y₁ = (10 + 26) / 3 = 12 y₂ = (10 - 26) / 3 = -16/3

8. З виразу x = 2 - y підставимо ці значення y для знаходження відповідних x:

   Для y₁: x₁ = 2 - 12 = -10 Для y₂: x₂ = 2 - (-16/3) = 22/3

9. Отже, маємо два розв'язки для системи:

   (x₁, y₁) = (-10, 12) (x₂, y₂) = (22/3, -16/3)

Перевірка підтвердить, що ці значення задовольняють обидва початкових рівняння, а отже, вони є правильними розв'язками системи.