Question

Докажите, что функция у=2(х-3)^2 возрастает на промежутке [3; +бесконечность)

Answer 1

Это парабола, ее вершина в точке(3;0) убывает на промежутке (-∞;3) возрастает (3;+∞) 

x2>x1

f(x2)-f(x1)= 2(x2-3)^2-2(x1-3)^2= 2(x2^2-6x2+9)-2(x1^2-6x1+9)= 2x2^2-12x2+18-2x1^2+12x1-18=

2x2^2-2x1^2-12x2+12x1=2(x2^2-x1^2)-12(x2-x1)=2(x2-x1)(x2+x1)-12(x2-x1)=2(x2-x1)(x2+x1-6)

x2-x1 по условию больше нуля

x2+x1-6 

Функция доказана

Answer 2

Для доказательства возрастания функции у=2(х-3)^2 на промежутке [3; +бесконечность), мы можем воспользоваться производной функции. Функция будет возрастать, если её производная положительна на данном промежутке.

1. Начнем с выражения функции: у = 2(х - 3)^2

2. Найдем производную функции у по переменной х: у' = d/dx [2(х - 3)^2] = 2 * 2(х - 3) * 1 = 4(х - 3)

3. Теперь определим, при каких значениях х производная положительна: 4(х - 3) > 0

4. Решим неравенство: х - 3 > 0 х > 3

Таким образом, производная функции положительна при х > 3. Это означает, что на интервале [3; +бесконечность) производная, а следовательно, и сама функция у=2(х-3)^2, является возрастающей.

Итак, функция у=2(х-3)^2 действительно возрастает на промежутке [3; +бесконечность).