Question

Докажите, что 4 ^20 , 4^19 ,4^18 делится на 21. ДАЮ 35 БАЛЛОВ ЗА ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Выражение кратно числу, когда каждый член выражение делится на это число

Answer 2

Для доказательства того, что числа $4^{20}$, $4^{19}$ и $4^{18}$ делятся на 21, мы можем воспользоваться фактом, что 21 разлагается на простые множители: $21 = 3 \times 7$.

Теперь давайте рассмотрим каждую из степеней $4^{20}$, $4^{19}$ и $4^{18}$:

1. $4^{20} = (2^2)^{20} = 2^{40}$
2. $4^{19} = (2^2)^{19} = 2^{38}$
3. $4^{18} = (2^2)^{18} = 2^{36}$

Мы знаем, что 2 и 3 взаимно простые числа (не имеют общих делителей, кроме 1), поэтому мы можем доказать, что каждая из степеней $2^{40}$, $2^{38}$ и $2^{36}$ делится и на 3, и на 7.

Для деления на 3: Сумма цифр в десятичной записи числа равна остатку числа при делении на 3. Так как сумма цифр числа 40 равна 4, остаток от деления $2^{40}$ на 3 также будет 1. Аналогично, остатки для $2^{38}$ и $2^{36}$ будут также 1.

Для деления на 7: Мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая гласит, что если $p$ - простое число, а $a$ не делится на $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. В данном случае, $p = 7$ и $a = 2$. Таким образом, $2^6 \equiv 1 \pmod{7}$. Теперь мы можем вычислить остатки для $2^{40}$, $2^{38}$ и $2^{36}$:

• $2^{40} = (2^6)^6 \cdot 2^4 \equiv 1^6 \cdot 16 \equiv 16 \pmod{7}$
• $2^{38} = (2^6)^6 \cdot 2^2 \equiv 1^6 \cdot 4 \equiv 4 \pmod{7}$
• $2^{36} = (2^6)^6 \equiv 1^6 \equiv 1 \pmod{7}$

Таким образом, мы доказали, что $4^{20}$, $4^{19}$ и $4^{18}$ делятся и на 3, и на 7, а значит, они также делятся на 21.

Итак, мы доказали, что $4^{20}$, $4^{19}$ и $4^{18}$ делятся на 21.