Question

ДАЮ 90 БАЛЛОВ Функцію задано формулою f(x)=x-4/3x^3 Знайти критичні точки функції f(x) та найбільше й найменше значення функції на відрізку [0;1]

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Answer 2

$\displaystyle f(x)=x-\frac{4}{3}x^3; \ f'(x)=1-4x^2$

Для нахождения критических точек ищем корни уравнения $f'(x)=0$

$\displaystyle f'(x)=1-4x^2=0 \Rightarrow 1=4x^2\Rightarrow (2x)^2=1 \Rightarrow 2x=\pm1 \Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}$

$f'(x)=1-4x^2=(1-2x)(1+2x)=-(2x+1)(2x-1)$

То есть если знаки расставлять, то получим -+-$(\dfrac{1}{2};+\infty)$

То есть на $(-\infty; -\dfrac{1}{2})$ функция убывает, на $(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})$ возрастает, на $(\dfrac{1}{2};+\infty)$ убывает.

Посчитаем $f(0)=0-\dfrac{4}{3} \cdot 0^3=0;\ f(1)=1-\dfrac{4}{3}\cdot 1^3 =-\dfrac{1}{3} ; \\ f\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{3} \cdot \bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^3=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{24}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

То есть на отрезке [0;1] $\displaystyle y_{max}=\frac{1}{3}; \displaystyle y_{min}=-\frac{1}{3}$, точка экстремума $x=\dfrac{1}{2}$

Не на отрезке [0;1] есть ещё точка экстремума $x=-\dfrac{1}{2}$

Answer 3

Для знаходження критичних точок функції та її найбільшого та найменшого значень на відрізку [0;1], спершу знайдемо похідну функції f(x) та розв'яжемо рівняння f'(x) = 0 для знаходження критичних точок.

1. Знайдемо похідну функції f(x): f(x) = x - (4/3)x^3 f'(x) = 1 - 4x^2.

2. Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння f'(x) = 0: 1 - 4x^2 = 0 4x^2 = 1 x^2 = 1/4 x = ±1/2.

Отже, критичні точки функції f(x) на відрізку [0;1] це x = 1/2 та x = -1/2.

3. Знайдемо значення функції f(x) в критичних точках та на кінцях відрізку [0;1]: f(0) = 0 - (4/3) * 0^3 = 0, f(1/2) = (1/2) - (4/3) * (1/2)^3 = 1/2 - 1/24 = 11/24, f(-1/2) = (-1/2) - (4/3) * (-1/2)^3 = -1/2 - 1/24 = -13/24, f(1) = 1 - (4/3) * 1^3 = 1 - 4/3 = -1/3.

Отже, найбільше значення функції на відрізку [0;1] це 11/24, а найменше значення -1/3.

Якщо у вас виникнуть ще які-небудь питання, будь ласка, дайте мені знати!