Question

Здравствуйте! Помогите пожалуйста!Докажите : sin x + sin 7 x + sin 3 x + sin 5 x = 4 cos x cos 2 x sin 4 x Решение :​

Answer 1

Объяснение:

$sinx + sin7x + sin3x + sin5x=2sin\frac{x+7x}{2}*cos\frac{7x-x}{2}+2sin\frac{3x+5x}{2}*cos\frac{5x-3x}{2}=\\ \\ 2sin4x*cos3x+2sin4x*cosx=2sin4x(cos3x+cosx)=\\ \\ 2sin4x*2cos\frac{3x+x}{2}*cos\frac{3x-x}{2}=4sin4x*cos2x*cosx$

Ч.Т.Д.

Answer 2

Здравствуйте!

Давайте докажем данное тождество:

$\sin x + \sin 7x + \sin 3x + \sin 5x = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x$

Для начала, воспользуемся формулой суммы синусов:

$\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A + B}{2}\right) \cos \left(\frac{A - B}{2}\right)$

Применяя эту формулу к первым двум слагаемым:

$\sin x + \sin 7x = 2 \sin \left(\frac{x + 7x}{2}\right) \cos \left(\frac{x - 7x}{2}\right) = 2 \sin \frac{8x}{2} \cos \left(-\frac{6x}{2}\right) = 2 \sin 4x \cos (-3x)$

Аналогично, для последних двух слагаемых:

$\sin 3x + \sin 5x = 2 \sin \frac{3x + 5x}{2} \cos \frac{5x - 3x}{2} = 2 \sin 4x \cos x$

Теперь мы можем переписать начальное уравнение:

$2 \sin 4x \cos (-3x) + 2 \sin 4x \cos x = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x$

Объединяем общие множители на левой стороне:

$2 \sin 4x (\cos (-3x) + \cos x) = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x$

Замечаем, что $\cos (-3x) + \cos x = 2 \cos x \cos 2x$, поэтому:

$2 \sin 4x (2 \cos x \cos 2x) = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x$

Теперь мы видим, что обе стороны равны между собой, следовательно, исходное тождество доказано.

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!