Question

2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у = корень квадратный из х-x³ на отрезке [1; 9].​

Answer 1

Ответ:

y= \frac{x+4}{ \sqrt{x} }  

y(1)= \frac{1+4}{ \sqrt{1} } =5

y(9)= \frac{9+4}{ \sqrt{9} }= \frac{13}{3} =4 \frac{1}{3}  

y'= \frac{(x+4)'* \sqrt{x} -(x+4)*( \sqrt{x} )'}{ ( \sqrt{x} )^{2} }

y'= \frac{ \sqrt{x} -(x+4)* \frac{1}{2 \sqrt{x} } }{x }  

\frac{ \sqrt{x} -(x+4)* \frac{1}{2 \sqrt{x} } }{x } =0

\sqrt{x} -(x+4)* \frac{1}{2 \sqrt{x} } =0

2x-x-4=0

x=4

y(4)= \frac{4+4}{ \sqrt{4} } =4

y_{min} =y(4)=4

y_{max} =y(1)=5

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции у = √(x - x³) на отрезке [1; 9], мы должны рассмотреть значения функции на границах интервала и в его критических точках.

1. Границы интервала:

   • Подставим x = 1: у = √(1 - 1³) = √0 = 0.
   • Подставим x = 9: у = √(9 - 9³) = √0 = 0.

2. Критические точки: Чтобы найти критические точки, решим уравнение у' = 0, где у' - производная функции у. у' = (1/2)(x - x³)^(-1/2)(1 - 3x²) = 0.

   Решим уравнение (1/2)(x - x³)^(-1/2)(1 - 3x²) = 0: 1 - 3x² = 0 3x² = 1 x² = 1/3 x = ±√(1/3)

   Поскольку интервал [1; 9] не содержит точки -√(1/3), мы рассматриваем только x = √(1/3).

   Подставим x = √(1/3): у = √(√(1/3) - (√(1/3))³).

Подводя итоги, наибольшее и наименьшее значения функции у на отрезке [1; 9] равны 0.