Question

Дослідіть функцію і побудуйте її графік y=x^4-2x^2+1

Answer 1

Ответ:

весь ответ на фото, вот)

Answer 2

Звісно, я готовий допомогти вам з цим завданням. Давайте спершу проаналізуємо функцію y = x^4 - 2x^2 + 1.

Ця функція має квадратичний член x^4 та лінійний член -2x^2, а також константний член 1.

Звернемо увагу на коефіцієнти при x^4 та x^2:

1. Коефіцієнт при x^4 додатний, що означає, що функція матиме гірші значення для від'ємних та близьких до нуля значень x.
2. Коефіцієнт при x^2 від'ємний, що свідчить про те, що функція матиме максимуми та мінімуми.

Знайдемо точки, де похідна функції дорівнює нулю, щоб визначити мінімальні та максимальні значення функції.

Похідна функції y = x^4 - 2x^2 + 1 виглядає так: y' = 4x^3 - 4x.

Рівняння для знаходження критичних точок: 4x^3 - 4x = 0.

Факторизуємо рівняння: 4x(x^2 - 1) = 0.

Отримуємо дві можливі значення x:

1. x = 0.
2. x^2 - 1 = 0, тобто x = 1 або x = -1.

Тепер розглянемо поведінку функції між цими критичними точками та на окремих інтервалах.

1. Між x = -1 та x = 0: Для від'ємних значень x, x^2 буде додатнім, тому x^4 також буде додатнім. Однак, x^2 додатній, тому відємний член -2x^2 впливає на спадання функції в цьому інтервалі.

2. Між x = 0 та x = 1: Для від'ємних значень x, x^2 буде додатнім, та ж сама логіка застосовується для x^4. Позитивний член 1 впливає на зростання функції.

3. Після x = 1: Від'ємний член -2x^2 буде переважати, спричиняючи спадання функції.

Тепер давайте побудуємо графік функції y = x^4 - 2x^2 + 1:

На графіку видно, що функція має мінімум близько x = 0 та максимуми навколо x = -1 та x = 1. Також можна побачити, що функція є симетричною відносно осі y, оскільки всі степені x є парними.