Question

Sin(3x+pi/4)=1/2. Решить уравнение

Answer 1

Замена переменной:

$3x+\frac{\pi }{4} =t$

Уравнение:

$sint=\frac{1}{2}$  - простейшее

Решаем по формулам:  

$sinx=a,$       ⇒   $x=(-1)^{k}arcsina+\pi k, k \in Z$

$|a|\leq 1$

$sint=\frac{1}{2}$

$t=(-1)^{k}arcsin\frac{1}{2} +\pi k, k \in Z$

$t=(-1)^{k}\frac{\pi }{3} +\pi k, k \in Z$

Обратный переход :

$3x+\frac{\pi }{4} =(-1)^{k}\frac{\pi }{3} +\pi k, k \in Z$

$3x=-\frac{\pi }{4} +(-1)^{k}\frac{\pi }{3} +\pi k, k \in Z$

$x=-\frac{\pi }{12} +(-1)^{k}\frac{\pi }{9} +\frac{\pi}{3} k, k \in Z$  -  это ответ, который можно записать в виде серии из двух ответов

k=2n

$x=-\frac{\pi }{12} +\frac{\pi }{9} +\frac{2\pi}{3} n, n \in Z$

$x=\frac{\pi }{36} +\frac{2\pi}{3} n, n \in Z$

k=2n+1

$x=-\frac{\pi }{12} -\frac{\pi }{9} +\frac{2\pi}{3} n+\frac{\pi}{3}, n \in Z$

$x=\frac{5\pi }{36} +\frac{2\pi}{3} n, n \in Z$

О т в е т. $-\frac{\pi }{12} +(-1)^{k}\frac{\pi }{9} +\frac{\pi}{3} k, k \in Z$     или  $\frac{\pi }{36} +\frac{2\pi}{3} n; \frac{5\pi }{36} +\frac{2\pi}{3}m; n, m \in Z$

Answer 2

Для решения уравнения sin(3x + π/4) = 1/2, мы можем следовать следующим шагам:

1. Найдем общее решение для уравнения sin(3x + π/4) = 1/2, используя обратную функцию arcsin (или sin^(-1)):

   3x + π/4 = arcsin(1/2)

2. Найдем все значения угла, удовлетворяющие этому уравнению на интервале [0, 2π], потому что sin имеет период 2π:

   3x = arcsin(1/2) - π/4

   x = (arcsin(1/2) - π/4) / 3

   Так как arcsin(1/2) = π/6, подставляем это значение:

   x = (π/6 - π/4) / 3 x = (π - 3π/4) / 3 x = (4π - 3π) / 12 x = π/12

3. Теперь добавим к π/12 все возможные кратные периоду 2π:

   x = π/12 + 2π * k, где k - любое целое число.

Итак, общее решение уравнения sin(3x + π/4) = 1/2:

x = π/12 + 2π * k, где k - целое число.