Question

Срочно! Дано функцію f(x) = (x^2-8x)/(x+1) Знайти проміжки зростання і спадання. Визначити точки екстремуму даної функції.

Answer 1

у меня вышло как-то так ))

Ответ:

P.S. сама не поняла что написала, но думаю что как-то помогла))

Answer 2

Для знаходження проміжків зростання та спадання функції та точок екстремуму, треба виконати наступні кроки:

1. Знайдіть першу похідну функції f(x).
2. Знайдіть критичні точки, де перша похідна дорівнює нулю або не існує.
3. Визначте знаки першої похідної на інтервалах між критичними точками.
4. Використовуйте знаки першої похідної для визначення проміжків зростання та спадання.
5. Знайдіть другу похідну функції та використайте її для визначення типів точок екстремуму.

Почнемо з першого кроку:

1. Знайдемо першу похідну функції f(x):

f(x) = (x^2 - 8x) / (x + 1)

Використовуючи правило диференціювання дробових функцій (квоцієнт правило), маємо:

f'(x) = [(x + 1)(2x - 8) - (x^2 - 8x)] / (x + 1)^2 = (2x^2 - 8x + 2x - 8 - x^2 + 8x) / (x + 1)^2 = (x^2 - 8) / (x + 1)^2

2. Знайдемо критичні точки, де перша похідна дорівнює нулю або не існує:

x^2 - 8 = 0 x^2 = 8 x = ±√8 ≈ ±2.8284

Отже, маємо дві критичні точки: x = -2.8284 та x = 2.8284.

3. Визначимо знаки першої похідної на інтервалах між критичними точками:

Для x < -2.8284: Підставляючи в f'(x) значення менше -2.8284, отримуємо від'ємний результат. Отже, f'(x) < 0 на цьому інтервалі, функція спадає.

Для -2.8284 < x < 2.8284: Підставляючи в f'(x) значення між -2.8284 та 2.8284, отримуємо додатний результат. Отже, f'(x) > 0 на цьому інтервалі, функція зростає.

Для x > 2.8284: Підставляючи в f'(x) значення більше 2.8284, отримуємо від'ємний результат. Отже, f'(x) < 0 на цьому інтервалі, функція спадає.

4. Визначимо проміжки зростання та спадання:

Функція зростає на інтервалі -2.8284 < x < 2.8284. Функція спадає на інтервалах x < -2.8284 та x > 2.8284.

5. Знайдемо другу похідну функції:

f''(x) = [2(x + 1)^2 - 2(x^2 - 8)(2x + 2)] / (x + 1)^4 = [2(x^2 + 2x + 1) - 4x^3 + 32x + 32] / (x + 1)^3 = [2x^2 + 4x + 2 - 4x^3 + 32x + 32] / (x + 1)^3 = [-4x^3 + 2x^2 + 36x + 34] / (x + 1)^3

Тепер визначимо типи точок екстремуму в критичних точках:

• Для x = -2.8284: Підставляючи x = -2.8284 в f''(x), отримуємо від'ємне значення. Це означає, що у цій точці є максимум.

• Для x = 2.8284: Підставляючи x = 2.8284 в f''(x), отримуємо додатне значення. Це означає, що у цій точці є мінімум.

Отже, маємо:

• Точка екстремуму: ( -2.8284, f(-2.8284) )
• Точка екстремуму: ( 2.8284, f(2.8284) )

Де f(-2.8284) та f(2.8284) можна обчислити, підставивши значення x в початкову функцію f(x).