Question

|2x+5| + |2x-3| = 8 2|x+6| - |x| + |x-6| = 18 Спасите.

Answer 1

1)|2x+5|, |2x-3|

Нули модулей разбивают числовой промежуток на три части, в которых я определил их знаки

- -, + -, + +

-------[-2.5]-----[1.5]---------

1°)x < -2.5

-2x-5-2x+3 = 8

-4x = 10

x = -10/4

x = -5/2

∅

2°)-2.5 <= x < 1.5

2x+5-2x+3 = 8

8 = 8

3°)x >= 1.5

2x+5+2x-3 = 8

4x = 6

x = 6/4

x = 3/2

Ответ: x€[-2.5; 1.5]

2)|x+6|, |x|, |x-6|

- - -. + - -, + + -, + + +

-----[-6]-----[0]-----[6]-------

1°)x < -6

-2x-12+x-x+6 = 18

-2x = 24

x = -12

2°)-6 <= x < 0

2x+12+x-x+6 = 18

2x = 0

x = 0

∅

3°)0 <= x < 6

2x+12-x-x+6 = 18

18 = 18

4°)x >= 6

2x+12-x+x-6 = 18

2x = 12

x = 6

Ответ: x€{-12}U[0; 6]

Answer 2

Для решения этой системы уравнений, мы должны разбить её на четыре случая, в зависимости от того, какие значения переменных находятся под модулями. Давайте начнем:

1. Для уравнения |2x+5| + |2x-3| = 8:

Случай 1: 2x + 5 ≥ 0 и 2x - 3 ≥ 0 (т.е. оба выражения под модулями положительны). Решаем систему: 2x + 5 = 8 => 2x = 3 => x = 3/2. 2x - 3 = 8 => 2x = 11 => x = 11/2 (но это не подходит, так как противоречит условию 2x - 3 ≥ 0).

Случай 2: 2x + 5 < 0 и 2x - 3 ≥ 0 (т.е. первое выражение под модулем отрицательно, а второе положительно). Решаем систему: -(2x + 5) + (2x - 3) = 8 => -2x - 5 + 2x - 3 = 8 => -8 = 8 (нет решений).

Случай 3: 2x + 5 ≥ 0 и 2x - 3 < 0 (т.е. первое выражение положительно, а второе отрицательно). Решаем систему: 2x + 5 - (2x - 3) = 8 => 2x + 5 - 2x + 3 = 8 => 8 = 8 (одно решение: x = 0).

Случай 4: 2x + 5 < 0 и 2x - 3 < 0 (т.е. оба выражения под модулями отрицательны). Решаем систему: -(2x + 5) - (2x - 3) = 8 => -2x - 5 - 2x + 3 = 8 => -4x - 2 = 8 => -4x = 10 => x = -10/4 (но это не подходит, так как противоречит условию 2x + 5 < 0).

2. Для уравнения 2|x+6| - |x| + |x-6| = 18:

Случай 1: x + 6 ≥ 0 и x ≥ 0 и x - 6 ≥ 0 (т.е. все выражения под модулями положительны). Решаем систему: 2(x + 6) - x + (x - 6) = 18 => 2x + 12 - x + x - 6 = 18 => 2x + 6 = 18 => 2x = 12 => x = 6.

Случай 2: x + 6 < 0 и x ≥ 0 и x - 6 ≥ 0 (т.е. первое выражение под модулем отрицательно, а остальные положительны). Решаем систему: 2(-x - 6) - x + (x - 6) = 18 => -2x - 12 - x + x - 6 = 18 => -2x - 18 = 18 => -2x = 36 => x = -18 (но это не подходит, так как противоречит условию x ≥ 0).

Случай 3: x + 6 ≥ 0 и x < 0 и x - 6 ≥ 0 (т.е. первое и последнее выражения положительны, а среднее отрицательно). Решаем систему: 2(x + 6) + x + (x - 6) = 18 => 2x + 12 + x + x - 6 = 18 => 4x + 6 = 18 => 4x = 12 => x = 3.

Случай 4: x + 6 < 0 и x < 0 и x - 6 ≥ 0 (т.е. первое и последнее выражения отрицательны, а среднее положительно). Решаем систему: 2(-x - 6) + x + (x - 6) = 18 => -2x - 12 + x + x - 6 = 18 => -2x - 18 = 18 => -2x = 36 => x = -18 (но это не подходит, так как противоречит условию x < 0).

В итоге, мы получаем два возможных решения для системы уравнений: x = 0 и x = 6.