Question

Дослідіть функцію f(x) = 2x² - x⁴ і побудуйте її графік​

Answer 1

Ответ:

Построение графика функции y=2x²-x⁴

Строим таблицу, подбираем x:

x: y:

-2;-8

-1;1

0;0

1;1

2;-8

Answer 2

Звісно, я допоможу вам дослідити функцію та побудувати її графік. Функція, яку ви навели, це квадратична функція зі змішаним членом четвертого степеня. Щоб дослідити функцію, ми можемо аналізувати такі параметри, як діапазон значень, вершину, перетини з осями та поведінку на великих відстанях від початку координат.

Функція: f(x) = 2x² - x⁴

1. Діапазон значень: Квадратичний член додатній, але член четвертого степеня від'ємний. Тому функція приймає всі значення від мінус нескінченності до плюс нескінченності.

2. Вершина: Вершина кривої графіка відбувається, коли похідна перетинається з нулем. Обчислимо похідну функції і прирівняємо її до нуля:

f'(x) = 4x - 4x³

4x - 4x³ = 0 4x(1 - x²) = 0

З цього рівняння ми отримуємо дві можливі точки вершини: x = 0 та x = ±1. Зараз знайдемо значення функції для цих значень x:

f(0) = 2 * 0² - 0⁴ = 0 f(1) = 2 * 1² - 1⁴ = 1 f(-1) = 2 * (-1)² - (-1)⁴ = 3

Таким чином, точка вершини може бути (0, 0) або (1, 1) або (-1, 3).

3. Перетини з осями: Функція перетинає ось X у точках, де f(x) = 0. Знайдемо ці точки:

2x² - x⁴ = 0 x²(2 - x²) = 0

Це дає нам дві можливі точки перетину: x = 0 та x = ±√2. Таким чином, функція перетинає ось X у трьох точках: (0, 0), (√2, 0) та (-√2, 0).

4. Поведінка на великих відстанях: Причому x² росте швидше, ніж x⁴ спадає, на великих відстанях від початку координат (при x -> ±∞), функція буде рости від мінус нескінченності до плюс нескінченності.

Тепер давайте побудуємо графік цієї функції:

На графіку видно, як функція поводиться, перетинає ося X у трьох точках і може мати вершину у точці (0, 0).