Question

Знайти S фігури,обмежену лініями y=3x^2 і y=1-2x

Answer 1

находим пределы интегрирования. 3х²=1-2х

3х²+2х-1=0

х=(-1±√4)/3; х=-1; 1/3

затем интеграл от (1-2х-3х²)  он равен х-х²-х³

Применим формулу Ньютона - Лейбница, получим (1/3-1/9-1/27)-(-1-1+1)=1 5/27/ед. кв./

Answer 2

Для знаходження площі (S) фігури, обмеженої лініями $y = 3x^2$ і $y = 1 - 2x$, необхідно обчислити інтеграл від різниці цих функцій за відповідними межами інтегрування.

Спершу знайдемо точки перетину цих двох ліній:

$3x^2 = 1 - 2x$

Приведемо рівняння до стандартного квадратного вигляду:

$3x^2 + 2x - 1 = 0$

Розв'яжемо це рівняння для $x$. Для цього можна використовувати квадратне рівняння або дискримінант. Давайте використаємо дискримінант:

Дискримінант ($D$) обчислюється за формулою: $D = b^2 - 4ac$, де в нашому випадку $a = 3$, $b = 2$, $c = -1$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

Так як $D > 0$, у нас є два дійсних корені:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = -1$

Отже, лінії $y = 3x^2$ і $y = 1 - 2x$ перетинаються у точках $x = \frac{2}{3}$ і $x = -1$.

Тепер ми можемо знайти площу обмеженої фігури, обчисливши інтеграл різниці цих функцій від $x = -1$ до $x = \frac{2}{3}$:

$S = \int_{-1}^{\frac{2}{3}} ((1 - 2x) - 3x^2) \, dx$

$S = \int_{-1}^{\frac{2}{3}} (1 - 2x - 3x^2) \, dx$

Обчислімо цей інтеграл:

$S = \left[x - x^2 - x^3\right]_{-1}^{\frac{2}{3}}$

$S = \left(\frac{2}{3} - \frac{4}{9} - \frac{8}{27}\right) - \left((-1) - 1 + 1\right)$

$S = \frac{2}{3} - \frac{4}{9} - \frac{8}{27} + 1 - 1 + 1$

$S = \frac{2 - 4 - 8 + 27}{27} + 1$

$S = \frac{17}{27} + 1$

$S = \frac{17 + 27}{27}$

$S = \frac{44}{27}$