Question

ДУЖЕ СРОЧНО!!!!! 20б !!! обчислити площу фігури обмежену лініями .Виконати малюнок у=х², х= у²

Answer 1

X = y² ⇒ y = √x

y = x²
y = √x

x² = √x
x = 0
x = 1

$\int\limits^1_0 { (\sqrt{x} -x^2)} \, dx = \frac{2x^{ \frac{3}{2} }}{3 } - \frac{x^3}{3} |^1_0= \frac{2x^{ \frac{3}{2}}-x^3 }{3 } |^1_0= \frac{1}{3} -0= \frac{1}{3}$

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями у = х² та х = у², ми можемо скористатися інтегруванням. Площа під кривою у = х² відбувається від x = 0 до x = 1, тоді як площа під кривою х = у² відбувається від y = 0 до y = 1.

Отже, ми можемо записати площу обмеженої фігури як суму площ під кривих:

\[ \text{Площа} = \int_{0}^{1} (\text{Верхня крива} - \text{Нижня крива}) \, dx \]

Для функції у = х², верхня крива - у, а нижня крива - 0.

Для функції х = у², верхня крива - 1, а нижня крива - відповідна значення функції у = √x.

Отже, ми можемо записати інтеграл для площі як:

\[ \text{Площа} = \int_{0}^{1} (u - 0) \, du + \int_{0}^{1} (1 - \sqrt{x}) \, dx \]

Знайдемо обидва інтеграли:

\[ \int_{0}^{1} u \, du = \frac{u^2}{2} \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \]

\[ \int_{0}^{1} (1 - \sqrt{x}) \, dx = \int_{0}^{1} 1 \, dx - \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx = x \Big|_{0}^{1} - \frac{2}{3}x^{3/2} \Big|_{0}^{1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \]

Тепер складемо обидва інтеграли:

\[ \text{Площа} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \]

Отже, площа фігури, обмеженої лініями у = х² та х = у², дорівнює \(\frac{5}{6}\).