Question

Знайдіть суму перших п'яти членів геометричної прогресії, якщо b3 = 5 q=1/2

Answer 1

$b_{3}=5\\\\q=\frac{1}{2}\\\\b_{3}=b_{1} *q^{2}\\\\b_{1}=b_{3} :q^{2}=5:(\frac{1}{2})^{2}=5*4=20\\\\S_{5}=\frac{b_{1}(q^{5} -1)}{q-1}=\frac{20(\frac{1}{32}-1)}{\frac{1}{2} -1}=\frac{20*(-\frac{31}{32})}{-\frac{1}{2}}=40*\frac{31}{32}=38,75$

Answer 2

Для геометричної прогресії ми маємо загальний вираз для n-го члена:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Де $a_1$ - перший член прогресії, $q$ - знаменник прогресії, $n$ - номер члена прогресії.

Ми знаємо, що $b_3 = 5$ і $q = \frac{1}{2}$. Підставимо це в формулу для знаходження третього члена:

$b_3 = a_1 \cdot q^{3-1} = a_1 \cdot q^2$

$5 = a_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$5 = a_1 \cdot \frac{1}{4}$

$a_1 = 20$

Тепер ми можемо знайти суму перших п'яти членів геометричної прогресії за допомогою формули для суми n членів геометричної прогресії:

$S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q}$

Підставимо значення:

$S_5 = \frac{20 \cdot (1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5)}{1 - \frac{1}{2}}$

$S_5 = \frac{20 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}}$

$S_5 = 20 \cdot \frac{31}{16}$

$S_5 = 155$

Отже, сума перших п'яти членів геометричної прогресії дорівнює 155.