Question

258. Какой набор точек представляет собой уравнение:а) 9x² + 9y² - 12x - 6y - 76 = 0б) x² + y² - 18x + 40y + 481 = 0в) x² + y + 2x - 6y + 15 = 0​

Answer 1

Какой набор точек представляет собой уравнение:

а) 9x² + 9y² - 12x - 6y - 76 = 0

б) x² + y² - 18x + 40y + 481 = 0  ;

в) x² + y² + 2x - 6y + 15 = 0           || x² + y + 2x - 6y + 15 = 0  

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Решение

а)

9x² + 9y² - 12x - 6y - 76 = 0   ⇔ (9x²- 12x +4) + ( 9y² - 6y+  1 ) - 4 - 1 - 76 = 0  ⇔   (3x -2)²+(3y -1)² =81 ⇔ 9(x -2/3)² +9(y -1/3 )² =81 ⇔(x -2/3)² +(y -1/3 )² =3²

Ответ:

Точки на окружности с центром O ( 2/3 ; 1/3 )  и радиусом  R = 3 .

б)

x² + y² - 18x + 40y + 481 = 0  ⇔(x² - 18x + 81) + (y²  + 40y + 400) =0⇔

(x - 9)² + ( y  + 20)² = 0  возможно,  если только  x - 9 =0  и y =  - 20

* * *   (x - 9)² ≥ 0 и  ( y  + 20)² ≥  0 * * *

Ответ :  единственная точка :   E( 9 ; - 20) .

в)

x² + y² + 2x - 6y + 15 = 0 ⇔ ( x² + 2x + 1 )  + ( y² - 6y + 9 ) +5 = 0 ⇔

(x + 1 )²  + ( y - 3 )²+ 5 = 0  невозможно  т.к.  (x + 1 )² ≥0  и ( y - 3 )² ≥ 0

(x + 1 )²  + ( y - 3 )²+ 5 ≥ 5

(x + 1 )²  + ( y - 3 )²+ 5

Ответ:   ∅  

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди:

а) 9x² + 9y² - 12x - 6y - 76 = 0

Это уравнение круга. Общий вид уравнения круга в декартовой системе координат:

(x - h)² + (y - k)² = r²

где (h, k) - координаты центра круга, r - радиус круга.

Преобразуем данное уравнение:

9x² + 9y² - 12x - 6y - 76 = 0 9(x² - 4x) + 9(y² - 2y) = 76 9(x² - 4x + 4) + 9(y² - 2y + 1) = 76 + 9 * 4 + 9 * 1 9(x - 2)² + 9(y - 1)² = 121

Таким образом, это уравнение круга с центром в точке (2, 1) и радиусом √(121/9) = √(121) / 3 = 11 / 3.

б) x² + y² - 18x + 40y + 481 = 0

Аналогично, преобразуем это уравнение:

x² + y² - 18x + 40y + 481 = 0 (x² - 18x) + (y² + 40y) = -481 (x² - 18x + 81) + (y² + 40y + 400) = -481 + 81 + 400 (x - 9)² + (y + 20)² = 0

Это также уравнение круга, но в данном случае центр находится в точке (9, -20), и радиус равен нулю, то есть это точка (9, -20).

в) x² + y + 2x - 6y + 15 = 0

Преобразуем это уравнение:

x² + y + 2x - 6y + 15 = 0 x² + 2x + y - 6y + 15 = 0 (x² + 2x + 1) + (y - 6y + 9) = 0 + 1 + 9 (x + 1)² - 5(y - 3) = 10

Это уравнение представляет собой параболу, которая открывается вверх и имеет вершину в точке (-1, 3).

Итак, набор точек для каждого уравнения:

а) Уравнение круга с центром (2, 1) и радиусом 11 / 3. б) Точка (9, -20). в) Парабола с вершиной (-1, 3), открывающаяся вверх.