Question

Вказати всі корені рівняння (х-3)⁴-5(х-3)²-36=0

Answer 1

Ответ:

$x1 = 0 \\ x2 = 6$

Объяснение:

Пусть

${(x - 3)}^{2} = t$

Тогда

${t}^{2} - 5t - 36 = 0 \\ D = 25 + 4 \times 36 \times 1 = 169 \\ t1 = \frac{5 + 13}{2} = 9 \\ t2 = \frac{5 - 13}{2} = - 4$

Делаем обратную замену

${(x - 3)}^{2} = - 4$

Решений нет

${(x - 3)}^{2} = 9 \\ \sqrt{ {(x - 3)}^{2} } = \sqrt{9 } \\ |x - 3| = 3$

Получаем ещё два уравнения

$x - 3 = 3 \\ x = 6$

И так же

$x - 3 = - 3 \\ x = 0$

Answer 2

Давайте позначимо $y = x - 3$, щоб спростити рівняння:

$(x - 3)^4 - 5(x - 3)^2 - 36 = 0$

Тепер підставимо $y$:

$y^4 - 5y^2 - 36 = 0$

Це квадратне рівняння відносно $y^2$. Розв'яжемо його:

$y^4 - 5y^2 - 36 = (y^2 - 9)(y^2 + 4) = 0$

Далі розкладемо $y^2 - 9$ та $y^2 + 4$:

$y^2 - 9 = (y + 3)(y - 3)$ $y^2 + 4 = (y + 2i)(y - 2i)$

Звідси отримуємо два набори значень для $y$:

1. $y + 3 = 0 \Rightarrow y = -3$
2. $y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3$
3. $y + 2i = 0 \Rightarrow y = -2i$
4. $y - 2i = 0 \Rightarrow y = 2i$

Згадаймо, що $y = x - 3$, тому:

1. $x - 3 = -3 \Rightarrow x = 0$
2. $x - 3 = 3 \Rightarrow x = 6$
3. $x - 3 = -2i \Rightarrow x = 3 - 2i$
4. $x - 3 = 2i \Rightarrow x = 3 + 2i$

Отже, корені рівняння $(x - 3)^4 - 5(x - 3)^2 - 36 = 0$ це $x = 0$, $x = 6$, $x = 3 - 2i$ та $x = 3 + 2i$.