Question

медианы АД и БМ треугольника АБС пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, которая параллельна стороне АС и пересекает сторону БС в точке К. Найдите БД, ДК и КС, если БС=18 см

Answer 1

Ответ:

БД=9 см, ДК=3 см, КС= 6 см

Объяснение:

АД - медиана, значит БД=БС/2=18/2=9 см

Медианы пересекаются в соотношении 2:1, начиная от вершины, т.е.

БО:ОМ=2:1, БМ=3 *ОМ

АО:ОД=2:1

треугольник БОК подобен тр-ку БМС, т.к их стороны на одной прямой или на параллельной. Значит,  БМ:БО=БС:БК=3:2

отсюда БК=2БС/3=2*18/3=12 см

тогда ДК=БК-БД=12-9=3 см, а КС=БС-БК= 18-12=6 см

Answer 2

Давайте рассмотрим данный треугольник и разберемся с поиском значений.

Пусть А, Б и С - вершины треугольника ABC, а МА и БМ - медианы, пересекающиеся в точке О. Также проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая сторону БС в точке К.

Поскольку МА и БМ - медианы треугольника ABC, точка О является центром масс треугольника. Это означает, что отрезок АО будет содержать 2/3 медианы МА, а отрезок БО будет содержать 2/3 медианы БМ.

Поскольку медианы разделяются точкой их пересечения в отношении 2:1, длина МО будет 2/3 от длины МА, и длина ОБ будет 2/3 от длины БМ.

Также, поскольку проведенная через О прямая параллельна стороне АС, по теореме о параллельных линиях можно сказать, что треугольники АБО и АКС подобны. Соответственно, отношение длин сторон будет равно отношению длин боковых медиан:

AB / AO = AS / AK.

Так как AB = 2 * AS (по определению медианы), получаем:

2 = AO / AK.

Теперь мы знаем, что AO = 2 * AK.

Дано, что BS = 18 см. Поскольку ОБ = 2/3 * БМ и ОБ + ОМ = БМ (так как БМ - медиана), можно записать:

2/3 * БМ + ОМ = БМ, 2/3 * БМ + 2/3 * БМ = БМ, 4/3 * БМ = БМ, БМ = 3 * ОМ.

Сумма ОБ и ОМ равна длине БС:

2/3 * БМ + ОМ = BS, 2/3 * 3 * ОМ + ОМ = 18, 2 * ОМ + ОМ = 18, 3 * ОМ = 18, ОМ = 6.

Таким образом, БМ = 3 * ОМ = 3 * 6 = 18 см.

Теперь мы можем выразить длину ОБ:

ОБ = 2/3 * БМ = 2/3 * 18 = 12 см.

Так как АО = 2 * АК:

АК = АО / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Из этого следует, что КС = АС - АК = BS - AK = 18 - 6 = 12 см.

Итак, получаем:

• Длина БД (ОБ) = 12 см,
• Длина ДК (АК) = 6 см,
• Длина КС = 12 см.