Question

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями y=-x^3, y=-x

Answer 1

Решение:

Большое количество задач такого типа решаются при помощи формулы Ньютона-Лейбница:

$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)$

Поэтому, во-первых, нужно найти $a$ и $b$ - абсциссы точек пересечения графиков функций. Для этого нужно решить несложное уравнение:

$-x^3 = -x\\\\x^3-x=0\\\\x \cdot (x^2-1)=0\\\\\Rightarrow \; x_1 = -1, \; x_2 = 0, \; x_3 = 1$

А так как есть целых три точки пересечения, то придется считать два интеграла: первый - от $-1$ до $0$ (как результат приравнивания функций: $f(x) = x^3-x$), а второй - от $0$ до $1$ (здесь уже $f(x)=x-x^3$):

$\displaystyle \int\limits^0_{-1} {\Big (x^3-x \Big) } \, dx + \int\limits^1_{0} {\Big (x-x^3 \Big) } \, dx = \bigg ( \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \bigg ) \Big | ^0_{-1} + \bigg ( \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \bigg ) \Big | ^1_{0} =\\\\= \bigg ( \Big (\frac{0}{4} - \frac{0}{2} \Big ) - \Big (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \Big ) \bigg ) + \bigg ( \Big (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \Big) - \Big (\frac{0}{4} - \frac{0}{2} \Big ) \bigg ) = 2 \cdot \bigg (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \bigg ) = \frac{1}{2}$

Значит, площадь искомой фигуры (состоящей из нескольких других фигур) равна $1/2$ или $0.5$ (каких-то квадратных единиц измерения), если перевести в десятичную дробь.

Ответ: 0.5 .

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^3 и y = -x, необходимо найти точки пересечения этих двух функций. Затем можно вычислить определенный интеграл площади между этими двумя функциями на соответствующем интервале.

Для начала найдем точки пересечения линий y = -x^3 и y = -x. Приравниваем две функции:

-x^3 = -x

x^3 - x = 0

x(x^2 - 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = ±1.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя определенный интеграл. Поскольку линия y = -x^3 находится ниже линии y = -x на интервале [-1, 1], мы можем записать площадь как:

Площадь = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,

где a = -1, b = 1, f(x) = -x, g(x) = -x^3.

Подставим значения в формулу:

Площадь = ∫[-1,1] (-x - (-x^3)) dx

Площадь = ∫[-1,1] (-x + x^3) dx

Вычислим этот интеграл:

∫(-x + x^3) dx = -0.5x^2 + 0.25x^4

Теперь возьмем разность между значениями этой функции в точках b = 1 и a = -1:

Площадь = (-0.5(1)^2 + 0.25(1)^4) - (-0.5(-1)^2 + 0.25(-1)^4)

Площадь = (-0.5 + 0.25) - (-0.5 + 0.25)

Площадь = 0.25

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^3 и y = -x, составляет 0.25 (или 1/4) квадратных единицы.