Question

Исследуйте функцию и постройте график f(x)=-3x2+12x

Answer 1

Ответ:

1. х ∈ R

2. функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. у = 0; х = 0; х = 4.

х = 0; у = 0.

4. Функция непрерывна, асимптот нет.

5. Функция возрастает на промежутке (-∞; 2];

убывает на промежутке [2; +∞);

х max = 2

6.  график выпуклый

Объяснение:

Требуется исследовать функцию и построить график.

f (x) = -3x² +12x

1. ОДЗ: х ∈ R.

2. Четность, нечетность.

Если f (-x) = f (x) - функция четная, если f (-x) = -f (x) - функция нечетная.

f (-x) = -3 · (-x)² + 12 ²·(-x) = -3x² - 12x

⇒ f (-x) ≠ f (x) ≠ -f (x) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. Пересечение с осями координат.

1) Пересечение с осью 0х, то есть у = 0.

-3х² + 12х = 0

-3х (х - 4) = 0

х = 0; х = 4.

2) Пересечение с осью 0у, то есть х = 0.

у = -3 · 0 + 12 · 0 = 0

4. Асимптоты.

Функция непрерывна, асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную:

f' (x) = -3 · 2x + 12 · 1 = -6x + 12 = -6 (x - 2)

Приравняем производную к нулю и найдем корни:

-6 (х - 2) = 0

х = 2

Отметим эту точку на числовой оси и определим знак производной на промежутках:

++++++++++[2]--------------

Если производная положительная, функция возрастает, если производная отрицательная, функция убывает.

Функция возрастает на промежутке (-∞; 2];

убывает на промежутке [2; +∞)

Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке будет максимум:

х max = 2

f (2) = -3 · 4 + 12 · 2 = 12

6) Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка.

f'' (x) = (f' (x))' = (-6x + 12)' = -6

Если вторая производная отрицательна, то график выпуклый.

Перегибов нет.

Строим график.

Answer 2

Конечно, давайте исследуем функцию f(x) = -3x^2 + 12x и построим её график.

Функция дана в виде квадратичной функции, где коэффициенты перед x^2 и x равны -3 и 12 соответственно.

Для начала, давайте найдем вершину параболы (максимум или минимум) и ось симметрии.

Вершина параболы находится в точке (-b/2a, f(-b/2a)), где a - коэффициент перед x^2, b - коэффициент перед x.

Для данной функции a = -3, b = 12. Подставляя значения:

x_v = -12 / (2 * -3) = 2

Теперь найдем значение функции в вершине:

f(x_v) = -3 * (2^2) + 12 * 2 = -12 + 24 = 12

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, 12).

Ось симметрии проходит через вершину параболы и перпендикулярна оси x. Так что в данном случае она будет иметь уравнение x = 2.

Теперь давайте построим график функции:

plaintextCopy code
 y
 ^
 |
 |
 |        * (2, 12) - вершина параболы
 |      /
 |    /
 |  /
 |*               - точка на оси симметрии
 +------------------------------------------------->
             x

На графике видно, что это парабола, направленная вниз, с вершиной в точке (2, 12). Ось симметрии проходит через x = 2. Функция будет принимать наибольшее значение в вершине параболы (12) и убывать при удалении от вершины как вправо, так и влево.

Если вам нужно более подробное изучение функции, вы можете провести анализ её производной, точек пересечения с осями, а также исследовать поведение функции в других интересующих вас точках.