Question

Чему равен остаток при делении 13^80+4 на 7? ( ответ 5, мне нужно пояснение)

Answer 1

При сравнении по модулю 7 можем заменить одно число другим, у которых совпадают остатки при делении на 7.

$13^{80}+4=(-1+2\cdot7)^{80}+4\equiv(-1)^{80}+4=1+4=5\ \mathrm{(mod\ 7)}$

Ответ: 5

Answer 2

Давайте рассмотрим данное выражение по частям и воспользуемся свойствами арифметики и модульной арифметики для вычисления остатка.

У нас есть выражение: $13^{80} + 4$, и нам нужно найти остаток при делении этого выражения на 7.

Сначала давайте посмотрим на остатки степеней 13 при делении на 7:

• $13^1 \mod 7 = 6$
• $13^2 \mod 7 = 1$
• $13^3 \mod 7 = 5$
• $13^4 \mod 7 = 4$
• $13^5 \mod 7 = 2$

И так далее. Обратите внимание, что после $13^2$ остатки начинают повторяться: $13^3$ даёт остаток 5, как и $13^8$, $13^{13}$, и так далее.

Это происходит из-за того, что $13^2 \mod 7 = 1$, и при умножении числа на 1 остаток не изменяется. Следовательно, любая степень 13, которая делится на 2, будет давать остаток 1.

Теперь вернемся к выражению $13^{80} + 4$:

• $13^{80}$ делится на 2, поэтому его остаток будет 1.
• $4$ по очевидным причинам имеет остаток 4.

Сложим остатки: $1 + 4 = 5$.

Таким образом, остаток при делении $13^{80} + 4$ на 7 действительно равен 5.