Question

Найдите все значения параметра d, при каждом из которых уравнение (2x-35)(x-d)=0 имеет ровно 2 корня, между которыми находятся ровно 6 целых чисел.

Answer 1

$(2x-35)(x-d)=0$

Решим уравнение в общем виде:

$2x-35=0\Rightarrow 2x=35\Rightarrow x_1=17.5$

$x-d=0\Rightarrow x_2=d$

Рассмотрим два случая.

1. Пусть 17.5 - меньший корень. Тогда, 6 целых чисел, находящихся между конями - это числа 18, 19, 20, 21, 22, 23. Следовательно, второй корень больше 23. Но второй корень не может быть больше 24, так как в противном случае еще и число 24 будет находиться между корнями уравнения. Таким образом:

$d\in(23;\ 24]$

2. Пусть 17.5 - больший корень. Тогда, 6 целых чисел, находящихся между конями - это числа 17, 16, 15, 14, 13, 12. Следовательно, второй корень меньше 12. Но второй корень не может быть меньше 11, так как в противном случае еще и число 11 будет находиться между корнями уравнения. В этом случае получаем:

$d\in[11;\ 12)$

Таким образом, ответом является объединение двух промежутков:

$d\in[11;\ 12)\cup (23;\ 24]$

Answer 2

Данное уравнение имеет два множителя: (2x - 35) и (x - d). Корни уравнения будут равны нулю, если один из этих множителей равен нулю.

Рассмотрим первый множитель: 2x - 35 = 0. Решая это уравнение относительно x, получаем x = 35/2 = 17.5.

Рассмотрим второй множитель: x - d = 0. Отсюда получаем x = d.

Таким образом, чтобы уравнение имело ровно 2 корня, один из которых равен 17.5, а другой равен d, необходимо выполнение следующих условий:

1. d ≠ 17.5 (поскольку у нас должно быть два различных корня).
2. d - 6 и d + 6 должны лежать в интервале между 17.5 и d.

Таким образом, условия для параметра d можно записать следующим образом:

1. d ≠ 17.5.
2. 17.5 < d - 6 < d + 6.

Решим неравенство второго условия:

17.5 < d - 6 < d + 6.

Прибавим 6 ко всем частям неравенства:

23.5 < d < d + 12.

Вычитаем d из всех частей неравенства:

23.5 - d < 12.

Теперь мы видим, что нам нужно, чтобы -d было меньше 12, что эквивалентно d > -12.

Итак, условия для параметра d:

1. d ≠ 17.5.
2. d > -12.

Таким образом, все значения параметра d, при которых уравнение (2x - 35)(x - d) имеет ровно 2 корня, между которыми находятся ровно 6 целых чисел, это d > -12 и d ≠ 17.5.