Question

1. Найдите одну из первообразных функции fx=5x^4-4x^3-x. Помогите пожалуйста

Answer 1

$f(x)=5x^{4}-4x^{3}-x\\\\F(x)=5*\frac{x^{5}}{5}-4*\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2} =x^{5}-x^{4}-0,5x^{2} \\\\Otvet:\boxed{F(x)=x^{5}-x^{4}-0,5x^{2}}$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 5x^4 - 4x^3 - x$, мы будем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du,$

где $u$ и $v$ - это дифференцируемые функции переменной $x$, а $du$ и $dv$ - их дифференциалы. Выберем следующие функции для интегрирования по частям:

$u = x^3 \quad \Rightarrow \quad du = 3x^2 \, dx,$ $dv = 5x^4 - x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = \frac{5}{5} \cdot \frac{x^5}{5} - \frac{x^2}{2}.$

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

$\int (5x^4 - 4x^3 - x) \, dx = x^3 \left(\frac{5}{5} \cdot \frac{x^5}{5} - \frac{x^2}{2}\right) - \int \left(\frac{5}{5} \cdot \frac{x^5}{5} - \frac{x^2}{2}\right) \cdot 3x^2 \, dx.$

Упростим выражение:

$\int (5x^4 - 4x^3 - x) \, dx = \frac{x^8}{5} - \frac{x^5}{2} - \left(\frac{5}{5} \cdot \frac{x^7}{7} - \frac{x^4}{2}\right) + 3 \int x^4 \, dx.$

Вычислим интеграл $\int x^4 \, dx$:

$\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C,$

где $C$ - произвольная постоянная.

Подставляя это значение обратно в наше уравнение, получим:

$\int (5x^4 - 4x^3 - x) \, dx = \frac{x^8}{5} - \frac{x^5}{2} - \left(\frac{5}{5} \cdot \frac{x^7}{7} - \frac{x^4}{2}\right) + 3 \cdot \left(\frac{x^5}{5} + C\right) + C.$

Упрощая выражение, получим:

$\int (5x^4 - 4x^3 - x) \, dx = \frac{x^8}{5} - \frac{7x^5}{10} + \frac{5x^7}{7} - \frac{5x^4}{2} + \frac{3x^5}{5} + 4C.$