Question

Обчислити площу фігури , обмежену лініями y=x^2+1 y=x+3

Answer 1

Здравствуйте!Решение на фото)

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої двома лініями, необхідно визначити точки їх перетину. Почнемо з рівняння:

y = x^2 + 1

y = x + 3

Зробимо їх рівними одне одному:

x^2 + 1 = x + 3

x^2 - x + 1 - 3 = 0

x^2 - x - 2 = 0

Тепер можна розв'язати це квадратне рівняння. Воно має два корені:

x = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)

x = (1 ± √(1 + 8)) / 2

x = (1 ± √9) / 2

x = (1 ± 3) / 2

Таким чином, отримуємо два значення x: x₁ = 2 і x₂ = -1.

Підставимо ці значення x у рівняння y = x^2 + 1, щоб знайти відповідні значення y:

Для x = 2:

y = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5

Отже, отримуємо точку (2, 5).

Для x = -1:

y = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2

Отже, отримуємо точку (-1, 2).

Тепер ми маємо дві точки перетину ліній: (2, 5) і (-1, 2). Щоб обчислити площу фігури, обмеженої цими лініями, ми можемо скористатися інтегралом. Площа обчислюється як інтеграл від різниці функцій y=x^2+1 та y=x+3 від x = -1 до x = 2.

Площа = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

де a = -1 і b = 2, f(x) = x^2 + 1 і g(x) = x + 3.

Підставляємо значення у формулу:

Площа = ∫[-1, 2] ((x^2 + 1) - (x + 3)) dx

= ∫[-1, 2] (x^2 - x - 2) dx

Інтегруємо це вираз:

Площа = [x^3/3 - x^2/2 - 2x] (від -1 до 2)

= [(2^3/3 - 2^2/2 - 2*2) -