Question

Преобразуйте в произведение: cos 5π/12-sin π/12

Answer 1

Ответ:

$cos\dfrac{5\pi}{12}-sin\dfrac{\pi}{12}=cos\dfrac{5\pi}{12}-cos(\pi -\dfrac{\pi}{12})= cos\dfrac{5\pi}{12}-cos\dfrac{11\pi}{12}=\\\\\\=2\cdot sin\dfrac{6\pi}{12}\cdot sin\dfrac{16\pi}{12}=2\cdot sin\dfrac{\pi}{2}\cdot sin\dfrac{4\pi}{3}=2\cdot sin\dfrac{4\pi}{3}=2\cdot sin(\pi+\dfrac{\pi}{3})=\\\\\\=-2\cdot sin\dfrac{\pi}{3}=-2\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=-\sqrt3$

Answer 2

Для того чтобы преобразовать данное выражение в произведение, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами. В данном случае, мы можем воспользоваться формулой разности для синусов:

$\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$.

Подставляя $a = \frac{5\pi}{12}$ и $b = \frac{\pi}{12}$, получаем:

$\sin\left(\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{4\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь воспользуемся формулой разности для косинусов:

$\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$.

Подставляя $a = \frac{5\pi}{12}$ и $b = \frac{\pi}{12}$, получаем:

$\cos\left(\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Теперь мы можем перемножить найденные значения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Итак, произведение \cos\left(\frac{5\pi}{12} - \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)) равно $\frac{\sqrt{3}}{4}$.