Question

Для функции f(x) = 5x - 3x(в квадрате) найдите первообразную, график которой проходит через точку М(-2; 14).

Answer 1

f(x) = 5x - 3x^2

F(x) = 5x^2/2 - x^3 + C

5*(-2)^2/2 - (-2)^3 + C = 14

10 + 8 + C = 14

18 + C = 14

C = -4

Ответ: F(x) = 5x^2/2 - x^3 - 4.

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 5x - 3x^2$, мы должны интегрировать данное выражение по переменной $x$. Интегрирование преобразует функцию обратно в исходную функцию, но добавляет постоянную $C$, так как в процессе дифференцирования эта постоянная исчезает.

Итак, начнем с интегрирования $f(x)$ по переменной $x$:

$F(x) = \int (5x - 3x^2) \, dx$

Проинтегрируем каждый член по отдельности:

$F(x) = \int 5x \, dx - \int 3x^2 \, dx$

$F(x) = \frac{5}{2}x^2 - \frac{3}{3}x^3 + C$

$F(x) = \frac{5}{2}x^2 - x^3 + C$

Теперь, чтобы найти значение постоянной $C$, используем информацию о точке $M(-2, 14)$, через которую проходит график первообразной.

Подставим координаты точки $M$ в уравнение первообразной:

$14 = \frac{5}{2}(-2)^2 - (-2)^3 + C$

$14 = 10 + 8 + C$

$C = 14 - 18$

$C = -4$

Таким образом, первообразная функции $f(x) = 5x - 3x^2$, проходящая через точку $M(-2, 14)$, имеет вид:

$F(x) = \frac{5}{2}x^2 - x^3 - 4$