Question

Найти промежутки возрастания функции: f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x

Answer 1

Ответ:

y=2x^3+9x^2-24x

y'=6x^2+18x-24

y'=0

6x^2+18x-24=0

x^2+3x-4=0

D=9+16=25

x1=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1

x2=\frac{-3-5}{2}=\frac{-8}{2}=-4

Ответ: Возростает: x e (-\infty;-4)U(1;+\infty)

Убывает: x e (-4;1)

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания функции нужно найти интервалы значений $x$, на которых производная функции положительна. Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 6x^2 + 18x - 24.$

Чтобы найти когда $f'(x) > 0$, нужно найти корни производной и проверить знак между ними.

1. Найдем корни производной: $6x^2 + 18x - 24 = 0.$

Мы можем разделить каждый коэффициент на 6: $x^2 + 3x - 4 = 0.$

Решим это квадратное уравнение:

$(x + 4)(x - 1) = 0.$

Отсюда получаем два корня: $x = -4$ и $x = 1$.

2. Теперь проверим знак производной на интервалах между и за пределами корней:

• Подставим $x = -5$, чтобы проверить знак в интервале $(-\infty, -4)$: $f'(-5) = 6(-5)^2 + 18(-5) - 24 = 150 - 90 - 24 = 36 > 0.$

• Подставим $x = 0$, чтобы проверить знак в интервале $(-4, 1)$: $f'(0) = 6(0)^2 + 18(0) - 24 = -24 < 0.$

• Подставим $x = 2$, чтобы проверить знак в интервале $(1, \infty)$: $f'(2) = 6(2)^2 + 18(2) - 24 = 72 + 36 - 24 = 84 > 0.$

Итак, производная $f'(x)$ положительна на интервалах $(- \infty, -4)$ и $(1, \infty)$. Значит, функция $f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x$ возрастает на этих интервалах.