Question

Sinα+sin(α− 14π /3 )+ sin(α+ 8π /3 ) упростить выражение​

Answer 1

По формуле:

$sinx+siny=2sin\frac{x+y}{2}cos \frac{x-y}{2}$

Тогда

$sin(\alpha -\frac{14\pi }{3} )+sin(\alpha+\frac{8\pi }{3}) =2sin\frac{\alpha -\frac{14\pi}{3}+\alpha +\frac{8\pi }{3} }{2} \cdot cos \frac{\alpha -\frac{14\pi}{3}-\alpha -\frac{8\pi }{3} }{2} =\\\\=2sin\frac{2\alpha -\frac{6\pi}{3}}{2} \cdot cos \frac{ -\frac{22\pi}{3} }{2}=2sin(\alpha -\pi )\cdot cos(\frac{11\pi}{3})=$

по  свойствам четности косинуса и нечетности синуса

и  формулам приведения

$=-2sin(\pi-\alpha )\cdot cos(4\pi-\frac{\pi}{3})=-2sin\alpha \cdot cos (-\frac{\pi }{3})=-2sin\alpha \cdot \frac{1}{2}=-sin\alpha$

О т в е т. $sin\alpha -sin\alpha=0$

Answer 2

sinα+sin(α−14π/3)+ sin(α+8π/3)=sinα-sin(-α+2*2π+π/3)+sin(α+2π+2π/3)=

sinα-sin(-α+π/3)+sin(α+2π/3)=

sinα-(sinπ/3)*cosα-(sinα)*cosπ/3+sinα*(cos(2π/3))+(sin(2π/3)*cosα=

sinα-√3cosα/2-0.5sinα-0.5sinα+√3cosα/2=0

Answer 3

Чтобы упростить выражение, воспользуемся формулой суммы синусов:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Применим эти формулы:

sin(α) + sin(α - 14π/3) + sin(α + 8π/3)

= sin(α) + sin(α)cos(-14π/3) - cos(α)sin(-14π/3) + sin(α)cos(8π/3) + cos(α)sin(8π/3)

= sin(α) + sin(α)cos(14π/3) + cos(α)sin(14π/3) + sin(α)cos(8π/3) + cos(α)sin(8π/3)

Заметим, что cos(-14π/3) = cos(14π/3) и sin(-14π/3) = -sin(14π/3), так как синус - нечетная функция, а косинус - четная функция.

= sin(α) + sin(α)cos(14π/3) + cos(α)(-sin(14π/3)) + sin(α)cos(8π/3) + cos(α)sin(8π/3)

Теперь объединим слагаемые синусов и косинусов:

= sin(α) + sin(α)cos(14π/3) + sin(α)cos(8π/3) + cos(α)(-sin(14π/3) + sin(8π/3))

= sin(α) + sin(α)(cos(14π/3) + cos(8π/3)) + cos(α)(sin(8π/3) - sin(14π/3))

Осталось упростить выражения в скобках:

cos(14π/3) = cos(2π + 4π/3) = cos(4π/3) = -1/2 cos(8π/3) = cos(2π + 2π/3) = cos(2π/3) = -1/2 sin(8π/3) = sin(2π + 2π/3) = sin(2π/3) = √3/2 sin(14π/3) = sin(2π + 4π/3) = sin(4π/3) = -√3/2

Подставляем значения:

= sin(α) + sin(α)(-1/2 - 1/2) + cos(α)(√3/2 - (-√3/2))

= sin(α) + sin(α)(-1) + cos(α)(√3 + √3)

= sin(α) - sin(α) + 2√3cos(α)

= 2√3cos(α)

Таким образом, упрощенное выражение равно 2√3cos(α).