Question

Відомо що x^3 + y^3 = 9; x^2y + xy^2=6. Знайти x+y.​

Answer 1

$\displaystyle \left \{ {{x^{3} + y^{3} = 9, \ \ \ } \atop {x^{2}y + xy^{2} = 6} \right.$

Домножимо обидві частини другого рівняння на $3$

$\displaystyle \left \{ {{x^{3} + y^{3} = 9, \ \ \ \ \ \ \ } \atop {3x^{2}y + 3xy^{2} = 18} \right.$

Складемо почленно обидва рівняння

$x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} +y^{3} = 9 + 18$

Використовуючи формулу куба суми двох виразів$(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$, маємо:

$(x+y)^{3}=27$

Таким чином, $\sqrt[3]{(x+y)^{3}}=\sqrt[3]{27} \Rightarrow x + y = 3$

Відповідь: $3$

Answer 2

Давайте спробуємо вирішити цю систему рівнянь, щоб знайти значення x і y. Ми маємо два рівняння:

1. x^3 + y^3 = 9
2. x^2y + xy^2 = 6

Спростимо друге рівняння, факторизувавши його: xy(x + y) = 6

Тепер давайте знайдемо значення x + y, використовуючи обидва рівняння. Для цього спростимо перше рівняння:

x^3 + y^3 = 9

Це рівняння можна розкласти за формулою суми кубів:

(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 9

Ми знаємо, що x^2y + xy^2 = 6, тому ми можемо підставити це значення в рівняння (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 9:

(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 - x^2y - xy^2 (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 9 - 6 (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 3

Тепер ми можемо поділити обидві сторони на x + y:

x^2 - xy + y^2 = 3 / (x + y)

Тепер ми маємо систему двох рівнянь:

1. xy(x + y) = 6
2. x^2 - xy + y^2 = 3 / (x + y)

Ми шукаємо значення x + y. Давайте підставимо значення з першого рівняння в друге:

x^2 - xy + y^2 = 3 / (6 / (x + y)) x^2 - xy + y^2 = (x + y) / 2

Тепер ми можемо вирішити це рівняння відносно x + y:

x^2 - xy + y^2 = (x + y) / 2 2x^2 - 2xy + 2y^2 = x + y 2x^2 + 2y^2 + x - xy - y = 0 2(x^2 + y^2) + (x - y)(x - y) = 0 2(x^2 + y^2) + (x - y)^2 = 0

Так як квадрат і будь-яке додатнє число є невід'ємними, а квадрат справа від дорівнює 0, то вони обидва повинні бути рівні 0:

2(x^2 + y^2) = 0 x^2 + y^2 = 0

Однак це можливо лише тоді, коли x і y дорівнюють нулю. Але в початкових рівняннях x^3 + y^3 = 9, що неможливо для x і y, рівних нулю.

Таким чином, ця система рівнянь не має розв'язків, і x + y не існує.