Question

У рівнобічну трапецію вписано коло, Відстань від центра кола до точки перетииу ліагоналей трапеції відноситься до радіуса кола, як 3:5, Знайти плошу трапеції, якщо її бічна сторона дорівнюе 10 см.

Answer 1

Ответ:  =40cm2

Объяснение:

Пусть трапеция АВСD, где AD>BC  и AD, BC- основания.

Если в трапецию вписана окружность , то суммы противоположных сторон равны.

AB+CD=BC+AD=20

Пусть О центр вписанной окружности, Р точка пересечения диагоналей.

ОМ - радиус окружности , причем так как трапеция равнобочная, то Р лежит на ОМ.  

Так как окружность вписанная, то ОМ является половиной высоты трапеции. Продолжим МО до пересечения с AD  в точке K.

МК- высота трапеции.

Рассмотрим треугольники APD и CPB.  Они подобны по 2-м углам.

( подробно не буду это доказывать, но понятно, что DBC = BDA- накрест лежащие. ). Коэффициент подобия будет равен отношению соответствующих элементов этих треугольников.

Заметим, что КР и МР соответственно высоты треугольников APD и CPB.

Тогда k= KP/MP

Обозначим ОР=3х Тогда ОМ=5х,  МР=5х-3х=2х,  КР= ОК+ОР=5х+3х=8х

Тогда  k= KP/MP  =8х/2x=4

Тогда AD:BC=4

=> BC=y  => AD=4*y

BC+AD=20 = y+4*y

5*y=20

y=BC=4

AD= BC*k= 4*4=16

Проведем теперь высоту ВН.

АН= (AD-BC):2= (16-4):2=6 cm ( так как трапеция равнобочная)

Тогда из треугольника АВН по т.Пифагора имеем:

ВН= sqrt(BA^2-Ah^2)=sqrt(100-36)=8

S(ABCD)=(AD+BC)*BH/2= 20*8/2=40cm2

То есть k=

Answer 2

Позначимо дані величини:

• Діагональ трапеції: $d$
• Радіус кола: $r$
• Відстань від центра кола до точки перетину діагоналей: $h$

За умовою задачі, маємо співвідношення: $\frac{h}{r} = \frac{3}{5}$

Також відомо, що діагональ трапеції є середньою лінією та перпендикуляром до основ. Застосуємо теорему Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного діагоналями та відстанню $h$ між їх перетином та центром кола: $d^2 = 2r^2 + h^2$

Підставимо співвідношення $\frac{h}{r} = \frac{3}{5}$ у вираз для $d^2$: $d^2 = 2r^2 + \left(\frac{3}{5}r\right)^2$ $d^2 = 2r^2 + \frac{9}{25}r^2$ $d^2 = \frac{59}{25}r^2$

Тепер враховуючи, що діагональ трапеції є середньою лінією та перпендикуляром до основ, ми можемо виразити $d$ через бічну сторону та різницю основ трапеції: $d^2 = \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 + h^2$ $d^2 = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} + h^2$

Де $a$ та $b$ - основи трапеції, а $h$ - її висота. В нашому випадку ми знаємо, що одна основа (бічна сторона) дорівнює 10 см. Позначимо іншу основу як $b$.

Отже, маємо: $\frac{59}{25}r^2 = \frac{10^2 + 2 \cdot 10 \cdot b + b^2}{4} + h^2$

Також, за властивостями вписаного кола, можна зазначити, що висота трапеції дорівнює радіусу кола $r$: $h = r$

Підставляючи це значення у рівняння, маємо: $\frac{59}{25}r^2 = \frac{10^2 + 2 \cdot 10 \cdot b + b^2}{4} + r^2$

Розв'язавши це рівняння відносно $b$, ми зможемо знайти довжину другої основи трапеції.

Після знаходження обох основ трапеції, можемо використовувати формулу для обчислення площі трапеції: $S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$

Зауважте, що процес знаходження другої основи та обчислення площі може бути досить об'ємним.