Question

Sin^4(x) + cos^4(x)=sin2x - 1/2 (Объясните пожалуйста не понимаЮ)

Answer 1

$sin^4x + cos^4x = sin2x - \frac{1}{2}\\ sin^4x + cos^4x + 2sin^2xcos^2x - 2sin^2xcos^2x = sin2x - \frac{1}{2}\\(sin^2x + cos^2x)^2 - \frac{1}{2}sin^22x = sin2x - \frac{1}{2}\\ 1 - \frac{1}{2}sin^22x = sin2x - \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}sin^22x + sin2x - \frac{3}{2} = 0\\ sin^22x + 2sin2x - 3 = 0\\sin^22x + 2sin2x + 1 - 4 = 0\\(sin2x+1)^2 - 2^2 = 0\\(sin2x+3)(sin2x-1)=0\\sin2x = 1 => 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z => x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n, n \in Z$

Answer 2

Уравнение, которое вы предоставили (sin^4(x) + cos^4(x) = sin(2x) - 1/2), на самом деле не верно. Верное равенство для даней функции выглядит следующим образом:

sin^4(x) + cos^4(x) = (sin^2(x) + cos^2(x))^2 - 2sin^2(x)cos^2(x) = 1 - 2sin^2(x)cos^2(x).

Поэтому, чтобы объяснить, почему это верно, давайте разберемся по шагам:

1. Начнем с известного тригонометрического тождества: sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Это тождество называется тождеством Пифагора и означает, что синус квадрата угла плюс косинус квадрата этого же угла всегда равен 1.

2. Возводим обе стороны этого тождества в квадрат: (sin^2(x) + cos^2(x))^2 = 1^2 = 1.

3. Раскрываем квадрат слева: sin^4(x) + 2sin^2(x)cos^2(x) + cos^4(x) = 1.

4. Теперь выразим 2sin^2(x)cos^2(x) через sin^4(x) и cos^4(x): 2sin^2(x)cos^2(x) = 2(sin^2(x))(1 - sin^2(x)) = 2sin^2(x) - 2sin^4(x).

5. Подставляем это значение в уравнение из пункта 3: sin^4(x) + 2sin^2(x)cos^2(x) + cos^4(x) = 1 становится sin^4(x) + 2sin^2(x) - 2sin^4(x) + cos^4(x) = 1.

6. Сгруппируем члены синусов и косинусов вместе: -sin^4(x) + sin^2(x) + cos^4(x) = 1.

7. Выразим -sin^4(x) через cos^4(x) (используя тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x)): -sin^4(x) = - (1 - cos^2(x))^2 = - (1 - cos^4(x) - 2cos^2(x)) = -1 + 2cos^2(x) - cos^4(x).

8. Подставляем это значение обратно в уравнение: -1 + 2cos^2(x) - cos^4(x) + sin^2(x) + cos^4(x) = 1.

9. Упрощаем уравнение: 2cos^2(x) + sin^2(x) = 2.

10. Используем тождество Пифагора для sin^2(x) + cos^2(x) еще раз: 2 = 2.

Таким образом, доказано, что sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - 2sin^2(x)cos^2(x), а не то уравнение, которое вы предоставили.