Question

Найдите все промежутки возрастания и убывания функции, подробно расписать y решение: y = x^3/3 + 3x^2 - 7x

Answer 1

Ответ:

Ответ и решение на фотографии.

Сначала находим производную, приравниваем её к нулю, получаем точки экстремума, подставляем в производную точки чуть правее и чуть левее точек, чтобы они оказались в интервалах, тем самым определяя знак. Если ответ положительный, то функция будет возрастать на этом промежутке, а если отрицательный, то убывать. Если что-то не понятно, пишите в комментариях к моему ответу, попробую объяснить.

Answer 2

Чтобы найти все промежутки возрастания и убывания функции $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $y$ по переменной $x$.
2. Решите уравнение $y' = 0$ для определения критических точек.
3. Проверьте знак производной между критическими точками, чтобы определить промежутки возрастания и убывания.

Шаг 1: Найдем производную $y'$ функции $y$:

$y = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x$

$y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right) + \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(7x)$

$y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2 \cdot 3x - 7$

$y' = x^2 + 6x - 7$

Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$x^2 + 6x - 7 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать квадратное уравнение или методы факторизации. Мы воспользуемся методом факторизации:

$(x + 7)(x - 1) = 0$

Из этого уравнения получаем два значения $x$:

1. $x + 7 = 0$, что приводит к $x = -7$.
2. $x - 1 = 0$, что приводит к $x = 1$.

Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = -7$ и $x = 1$.

Шаг 3: Определение промежутков возрастания и убывания:

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания, мы можем использовать знак производной $y'$ на интервалах между критическими точками и вне их.

1. Между $-\infty$ и $-7$: Для $x < -7$, $y' = x^2 + 6x - 7$ положителен (подставьте любое значение $x$ меньше -7, чтобы убедиться в этом). Это означает, что функция $y$ возрастает на этом интервале.

2. Между $-7$ и $1$: Для $-7 < x < 1$, $y' = x^2 + 6x - 7$ отрицателен (подставьте любое значение $x$ между -7 и 1, чтобы убедиться в этом). Это означает, что функция $y$ убывает на этом интервале.

3. Между $1$ и $+\infty$: Для $x > 1$, $y' = x^2 + 6x - 7$ снова положителен (подставьте любое значение $x$ больше 1, чтобы убедиться в этом). Это означает, что функция $y$ возрастает на этом интервале.

Таким образом, промежутки возрастания функции $y$ - это $(- \infty, -7)$ и $(1, +\infty)$, а промежуток убывания - $(-7, 1)$.