Question

Основание четырехугольной пирамиды SABCD - параллелограмм ABCD. Через середины ребер SC и AB проведена плоскость, параллельная диагонали BD основания. а) Найдите отношение k, в котором эта плоскость делит ребро SB, считая от вершины пирамиды. б) Найдите объем V того из многогранников, на которые эта плоскость разбивает пирамиду который содержит вершину пирамиды, если объем пирамиды равен 100

Answer 1

Ответ:

а) k = 3; б) V = 50.

Объяснение:

Решение в двух приложениях.

Предостережение на рисунках SO не является высотой пирамиды SABCD.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

а) Отношение, в котором плоскость делит ребро SB, можно найти, используя подобие треугольников. Рассмотрим треугольники SSB и SAC:

1. Середина ребра SC обозначена как M.
2. Середина ребра AB обозначена как N.
3. Плоскость, параллельная диагонали BD и проходящая через M и N, пересекает ребро SB в точке X.

Треугольники SSB и SAC подобны по двум признакам:

• Угол SSB равен углу SAC (поскольку оба угла прямые, и плоскость параллельна диагонали BD).
• Угол BSS (внутренний угол при вершине S треугольника SSB) равен углу CAS (внутренний угол при вершине S треугольника SAC), так как они являются соответственными углами при параллельных сторонах.

Таким образом, треугольники SSB и SAC подобны, и мы можем использовать соответствующие стороны этих треугольников для вычисления отношения.

Отношение k можно выразить как:

k = SX / SB = SA / SC.

Но поскольку треугольники SSB и SAC подобны, то:

SA / SC = SB / SB = 1.

Следовательно, отношение k равно 1.

б) Теперь, когда у нас есть значение отношения k, мы можем выяснить, какую часть объема пирамиды составляет верхний многогранник.

Поскольку отношение k равно 1, плоскость делит ребро SB пополам. Это означает, что верхний многогранник пирамиды является пирамидой с вершиной в точке S и основанием в плоскости, проходящей через середины ребер SC и AB. Обозначим этот многогранник как P.

Для вычисления объема многогранника P, мы можем использовать пропорцию объемов треугольных пирамид:

V_P / V_SABCD = (1/3) * h_P / h_SABCD,

где V_P - объем многогранника P, V_SABCD - объем пирамиды SABCD, h_P - высота многогранника P, h_SABCD - высота пирамиды SABCD.

Поскольку объем пирамиды SABCD равен 100, а отношение высот многогранника P к высоте пирамиды SABCD также равно 1 (поскольку плоскость параллельна основанию и делит ребро SB пополам), то:

V_P / 100 = (1/3) * 1 / 1,

V_P = 100 / 3.

Итак, объем многогранника P равен 100 / 3.