Question

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD . Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α , параллельная ребру MC . а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру MD . б) Найдите угол между плоскостью α и прямой AC .

Answer 1

Если противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны, то апофемы этих граней с отрезком основания, равным стороне квадрата, образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Отсюда следует, что высота пирамиды равна половине стороны основания.

1) Пусть середины рёбер MA и MB - это точки Е и К.

Отрезок ЕК как средняя линия боковой грани параллелен стороне основания АВ и, следовательно, стороне СД.

Из задания вытекает, что плоскость альфа пересекает боковую грань ВМС по линии, параллельной ребру МС.

А из приведенного выше рассуждения следует, что основание пересекается по линии РТ, параллельной стороне квадрата.

По подобию определяем, что точка пересечения плоскостью альфа стороны ВС (это точка Р) - середина ВС.

Так как 2 стороны угла ДСМ боковой грани параллельны плоскости альфа, то и ребро МД этой грани тоже параллельно плоскости альфа.

2) Примем длину стороны квадрата основания за 4 (для кратности).

Высота пирамиды равна 2. Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат вершиной Д в начало, ДА - по оси Ох, ДС - по оси Оу.

Определяем координаты точек: А и С для прямой АС и точек ЕКР для плоскости альфа.

А = (4; 0; 0), С = (0; 4; 0). Направляющий вектор АС = (-4; 4; 0).

Находим уравнение плоскости альфа по координатам точек Е, К и Р.

Е = (3; 1; 1), К = (3; 3; 1), Р = (2; 4; 0).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - x1        y - y1         z - z1  = 0

x2 - x1      y2 - y1      z2 - z1

x3 - x1      y3 - y1       z3 - z1

x - 3          y - 1          z - 1  = 0

3 - 3          3 - 1          1 - 1

2 - 3          4 - 1          0 - 1

x - 3          y - 1           z - 1  = 0

 0              2               0

-1              3               -1

(x-3)(2·(-1)-0·3) - (y - 1)(0· (-1)-0·(-1)) + (z - 1)(0·3-2·(-1)) = 0

(-2) (x -  3) +  0(y - 1) +  2(z - 1) = 0

 - 2 x  +  2z  +  4 = 0   или, сократив на -1, имеем: x - z - 2 = 0.

sin φ = |cos ψ| =   | s · q | | s |·| q |  =

=   | sx · qx + sy · qy + sz · qz | /√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²)  =

=   | 1 · (-4) + 0 · 4 + (-1) · 0 | /√(1² + 0² + (-1)²) · √((-4)² + 4² + 0²)  =

=   | -4 + 0 + 0 |/√(1 + 0 + 1) · √(16 + 16 + 0)  =

=   4 /(√2 · √32)  =    4 /√64  = 0,5.

φ = 30°.

Answer 2

а) Для доказательства того, что плоскость α параллельна ребру MD, мы можем воспользоваться тем фактом, что противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Обозначим середины рёбер MA и MB как P и Q соответственно. Так как плоскость α проходит через середины рёбер MA и MB, то векторы MP и MQ лежат в этой плоскости.

Также из условия известно, что ребро MC параллельно плоскости α. Рассмотрим треугольник MPC, где P и Q - середины рёбер MA и MB соответственно, а C - вершина основания пирамиды. Так как MP и MQ лежат в плоскости α, а ребро MC параллельно этой плоскости, то треугольник MPC лежит в плоскости α.

Теперь рассмотрим треугольник MDC. Он имеет общую сторону MC с треугольником MPC и вершину D, лежащую на плоскости ABCD, которая перпендикулярна ребру MC. Так как треугольник MPC лежит в плоскости α, а сторона MC треугольника MDC параллельна плоскости α, то весь треугольник MDC лежит в плоскости α.

Таким образом, треугольник MDC лежит в плоскости α, что означает, что плоскость α параллельна ребру MD.

б) Чтобы найти угол между плоскостью α и прямой AC, рассмотрим прямую, проходящую через середину ребра AC и перпендикулярную к плоскости ABCD. Обозначим эту прямую как l.

Так как противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны, плоскость α параллельна плоскости ABCD. Значит, прямая l лежит в плоскости α.

Теперь рассмотрим треугольник MAC. Он имеет общую сторону AC с треугольником ABCD, а прямая l, перпендикулярная к плоскости ABCD, проходит через середину этой стороны. Значит, треугольник MAC лежит в плоскости α.

Так как треугольник MAC лежит в плоскости α, а прямая AC лежит в плоскости ABCD