Question

Определите количество корней уравнения |х+2|+|х-а|=а+2 в зависимости от значения параметра а​

Answer 1

$|x+2|+|x-a|=a+2$

Найдем нули подмодульных выражений:

$x+2=0\Rightarrow x=-2$

$x-a=0\Rightarrow x=a$

Возможны две ситуации взаимного расположения этих точек: $a$ и $a\geq -2$.

Заметим, что первая ситуация не дает решений, так как при $a$ выражение в правой части уравнения $a+2$, но с другой стороны это выражение есть сумма модулей, которая не может быть отрицательной. Значит, при $a$ уравнение не имеет решений.

Рассмотрим ситуацию $a\geq -2$. Раскроем модуль при трех условиях:

1. Пусть $x$. Тогда оба модуля раскрываются со сменой знака:

$-(x+2)-(x-a)=a+2$

$-x-2-x+a=a+2$

$-2x=4$

$x=-2$

Но по условию раскрытия модулей $x$. Значит, в данном случае корней нет.

2. Пусть $-2\leq x\leq a$. Тогда первый модуль раскрывается без смены знака, а второй - со сменой знака:

$(x+2)-(x-a)=a+2$

$x+2-x+a=a+2$

$2=2$

Это верное равенство. Значит, решениями являются все значения, при которых было сделано такое раскрытие модулей:

$-2\leq x\leq a$

3. Пусть $x>a$. Тогда оба модуля раскрываются без смены знака:

$(x+2)+(x-a)=a+2$

$x+2+x-a=a+2$

$2x=2a$

$x=a$

Но по условию раскрытия модулей $x>a$. Значит, в данном случае корней нет.

Таким образом, корни имеются только при условии $a\geq -2$. Они определяются соотношением $-2\leq x\leq a$.

Выделив условие $a=-2$ как частный случай, можно записать ответ.

Ответ:

при $a$: нет корней

при $a=-2$: один корень $x=-2$

при $a>-2$: бесконечное множество корней: $x\in[-2;\ a]$

Answer 2

Чтобы определить количество корней уравнения |x + 2| + |x - a| = a + 2 в зависимости от значения параметра a, рассмотрим несколько случаев.

1. Случай a < -2: В этом случае оба модуля |x + 2| и |x - a| будут всегда положительными. Уравнение примет вид (x + 2) + (x - a) = a + 2, что равносильно 2x - a = 0. Решение этого линейного уравнения всегда существует, и, следовательно, уравнение имеет ровно один корень.

2. Случай -2 ≤ a ≤ a + 2: В этом диапазоне значения a модули могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от x. Рассмотрим два подслучая:

   2.1. Пусть x ≥ a. В этом случае оба модуля будут положительными: |x + 2| = x + 2 и |x - a| = x - a. Уравнение примет вид (x + 2) + (x - a) = a + 2, что равносильно 2x - a = 0. Уравнение имеет ровно один корень.

   2.2. Пусть x < a. В этом случае оба модуля будут отрицательными: |x + 2| = -(x + 2) и |x - a| = -(x - a). Уравнение примет вид -(x + 2) - (x - a) = a + 2, что равносильно -2x + a = 0. Уравнение также имеет ровно один корень.

   В обоих подслучаях получаем один корень.

3. Случай a > a + 2: В этом случае оба модуля |x + 2| и |x - a| будут всегда отрицательными. Уравнение примет вид -(x + 2) - (x - a) = a + 2, что равносильно -2x + a = 0. Решение этого линейного уравнения всегда существует, и, следовательно, уравнение имеет ровно один корень.

Итак, вне зависимости от значения параметра a, уравнение |x + 2| + |x - a| = a + 2 всегда имеет ровно один корень.