Question

Решить уравнение в целых нечетных числах: х1^2+х2^2+х3^2+х4^2+х5^2=у^2

Answer 1

Все иксы и игрек можно без ограничения общности считать положительными

Пусть

$x_i = 2\xi_i + 1\\y = 2u+1$

Где ξ_i и u - натуральные или нуль.

Подставляя в наше уравнение получим

$4(\xi_1^2+...+\xi_5^2) + 4(\xi_1+...+\xi_5) + 5 = 4u^2+4u+1\\4(\xi_1^2+...+\xi_5^2) + 4(\xi_1+...+\xi_5) + 4 = 4u^2+4u\\\xi_1(\xi_1+1) + ... + \xi_5(\xi_5+1) + 1 = u(u+1)$

Fun fact: произведение двух подряд идущих чисел обязательно четно.

Слева стоит сумма 5 четных чисел и единица, а слева - четное число.

Слева число нечетное, справа четное.

Решений нет.

Answer 2

Рассмотрим уравнение x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 + x5^2 = y^2, где x1, x2, x3, x4, x5 - целые нечетные числа, а y - целое число.

Попробуем найти решение путем перебора.

Мы можем воспользоваться методом полного перебора, но это может быть довольно затратно вычислительно, так как мы должны бы перебрать все возможные комбинации нечетных чисел в пяти переменных. Вместо этого можно воспользоваться более умным методом.

Заметим, что квадрат нечетного числа всегда имеет остаток 1 при делении на 4: (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1. Это означает, что сумма пяти квадратов нечетных чисел также будет иметь остаток 1 при делении на 4.

Теперь рассмотрим все возможные остатки, которые могут иметь квадраты нечетных чисел при делении на 4:

• 1^2 ≡ 1 (mod 4)
• 3^2 ≡ 1 (mod 4)

Таким образом, сумма пяти квадратов нечетных чисел может иметь только остатки 1 или 2 при делении на 4. Однако остаток 2 при делении на 4 невозможно получить суммированием пяти квадратов нечетных чисел.

Следовательно, уравнение x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 + x5^2 = y^2 не имеет решений в целых нечетных числах x1, x2, x3, x4, x5 и y.