Question

Если для действительных положительных чисел а, b, c выполняются равенства ab=14 и bc=6, то найдите наименьшее значение выражения a+2b+c.​

Answer 1

Добрый день!

Ответ:

$4\sqrt{10}$

Объяснение:

$ab=14\\bc=6\\ab+bc = 20\\b(a+c) = 20\\2b(a+c) = 40$

Поскольку $a,b,c >0$ , то $2b>0 ; a+c>0$

Таким образом из неравенства о средних:

$a+2b+c \geq 2\sqrt{2b(a+c)} = 2\sqrt{40} = 4\sqrt{10}$  

Наименьшее значение достигается, когда

$2b=a+c=2\sqrt{10}\\b=\sqrt{10} \\a= \frac{14}{\sqrt{10} } \\b=\frac{6}{\sqrt{10} }$

Если ответ понятен, то ставь лайк и выбирай ответ лучшим!

Answer 2

Из данных равенств можно выразить переменные b и c в зависимости от переменной a:

1. $ab = 14$
2. $bc = 6$

Из уравнения (2) можно выразить $c$ как $c = \frac{6}{b}$.

Подставим это значение $c$ в уравнение (1):

$ab = 14$

$a \cdot \frac{6}{b} = 14$

Отсюда, $a = \frac{14b}{6} = \frac{7b}{3}$.

Теперь у нас есть выражения для $a$ и $c$ в зависимости от $b$:

$a = \frac{7b}{3}$

$c = \frac{6}{b}$

Теперь мы можем выразить выражение $a + 2b + c$ через $b$:

$a + 2b + c = \frac{7b}{3} + 2b + \frac{6}{b}$

Для нахождения минимального значения этого выражения найдем производную по $b$ и приравняем её к нулю:

$\frac{d}{db}\left(\frac{7b}{3} + 2b + \frac{6}{b}\right) = \frac{7}{3} + 2 - \frac{6}{b^2}$

Приравняем это к нулю:

$\frac{7}{3} + 2 - \frac{6}{b^2} = 0$

$\frac{13}{3} = \frac{6}{b^2}$

Отсюда, $b^2 = \frac{18}{13}$, и, следовательно, $b = \sqrt{\frac{18}{13}}$.

Подставим $b$ обратно в выражение $a + 2b + c$:

$a + 2b + c = \frac{7b}{3} + 2b + \frac{6}{b}$

$a + 2b + c = \frac{7}{3} \cdot \sqrt{\frac{18}{13}} + 2 \cdot \sqrt{\frac{18}{13}} + \frac{6}{\sqrt{\frac{18}{13}}}$

$a + 2b + c \approx 8.91$

Таким образом, наименьшее значение выражения $a + 2b + c$ равно примерно 8.91.